协方差矩阵和特征脸

快捷方式: 差异，相似，杰卡德相似系数，参考。

协方差矩阵和特征脸之间的区别

协方差矩阵 vs. 特征脸

在统计学与概率论中，共變異數矩阵（也称离差矩阵、方差-协方差矩阵）是一个矩阵，其 i, j 位置的元素是第 i 个与第 j 个（即随机变量构成的向量）之间的共變異數。这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。. 特征脸（Eigenface）是指用于机器视觉领域中的人脸识别问题的一组特征向量。使用特征脸进行人脸识别的方法首先由Sirovich and Kirby (1987)提出，并由Matthew Turk和Alex Pentland用于人脸分类。该方法被认为是第一种有效的人脸识别方法。这些特征向量是从高维矢量空间的人脸图像的协方差矩阵计算而来。.

主成分分析

在多元统计分析中，主成分分析（Principal components analysis，PCA）是一種分析、簡化數據集的技術。主成分分析经常用于减少数据集的维数，同时保持数据集中的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。由于主成分分析依赖所给数据，所以数据的准确性对分析结果影响很大。 主成分分析由卡爾·皮爾遜於1901年發明，用於分析數據及建立數理模型。其方法主要是通過對共變異數矩陣進行特征分解，以得出數據的主成分（即特征向量）與它們的權值（即特征值）。PCA是最簡單的以特征量分析多元統計分布的方法。其結果可以理解為對原數據中的方差做出解釋：哪一個方向上的數據值對方差的影響最大？換而言之，PCA提供了一種降低數據維度的有效辦法；如果分析者在原數據中除掉最小的特征值所對應的成分，那麼所得的低維度數據必定是最優化的（也即，這樣降低維度必定是失去訊息最少的方法）。主成分分析在分析複雜數據時尤為有用，比如人臉識別。 PCA是最简单的以特征量分析多元统计分布的方法。通常情况下，这种运算可以被看作是揭露数据的内部结构，从而更好的解释数据的变量的方法。如果一个多元数据集能够在一个高维数据空间坐标系中被显现出来，那么PCA就能够提供一幅比较低维度的图像，这幅图像即为在讯息最多的点上原对象的一个‘投影’。这样就可以利用少量的主成分使得数据的维度降低了。 PCA跟因子分析密切相关，并且已经有很多混合这两种分析的统计包。而真实要素分析则是假定底层结构，求得微小差异矩阵的特征向量。.

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特征值和特征向量

在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的矩阵A，它的特征向量（eigenvector，也譯固有向量或本征向量）v 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的v 保持在同一條直線上，但其长度或方向也许會改变。即 \lambda為純量，即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，称\lambda 为其特征值（本征值）。如果特徵值為正，则表示v 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特徵值為負，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。但无论怎样，仍在同一条直线上。图1给出了一个以著名油画《蒙娜丽莎》为题材的例子。在一定条件下（如其矩阵形式为实对称矩阵的线性变换），一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述，也就是說：所有的特徵向量組成了這向量空間的一組基底。一个特征空间(eigenspace)是具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合，可以证明该集合是一个线性子空间，比如\textstyle E_\lambda.

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