勒貝格積分和欧几里得空间

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勒貝格積分和欧几里得空间之间的区别

勒貝格積分 vs. 欧几里得空间

勒貝格積分(Lebesgue integral)是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是函数图像与x轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到更廣的函数（可測函數），并且也扩展了可以进行积分运算的集合（可測空間）。最早的积分运算对于非负值的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积（也就是黎曼積分），但這過程需要函數足够規則。但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生（比如为了讨论数学分析的极限过程中導致的函數，或者出于概率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。 在实分析和在其它许多数学领域中勒貝格積分拥有一席重要的地位。 勒貝格積分是以昂利·勒貝格命名的，他于1904年引入了这个积分定义。 今天勒贝格积分有狭义和广义两种意义。广义地说是对于一个在一般測度空間（的子集合）上的函数积分，在這情況下其測度不必然是勒貝格測度。狭义则是指对于勒贝格测度在實數線或者更高维数的歐幾里得空間的一个子集合上函数的积分。. 欧几里得几何是在约公元前300年，由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理被编排到幾何原本。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n维欧几里得空间（甚至简称 n 维空间）或有限维实内积空间。 这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备）， 希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。 为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。 尽管结果的数学非常抽象，它却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，根本性质是它的平面性。 另存在其他種類的空间，例如球面非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。.

希尔伯特空间

在数学裡，希尔伯特空间即完备的内积空间，也就是說一個帶有內積的完備向量空間。是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不局限于實數的情形和有限的维数，但又不失完备性（而不像一般的非欧几里得空间那样破坏了完备性）。与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引申而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西序列會收敛到此空間裡的一點，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公設化数学和量子力学的关键性概念之一。.

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