劳斯–赫尔维茨稳定性判据和控制理论

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劳斯–赫尔维茨稳定性判据和控制理论之间的区别

劳斯–赫尔维茨稳定性判据 vs. 控制理论

劳斯–赫尔维茨稳定性判据（Routh–Hurwitz stability criterion）是控制理论中的一個數學測試，是線性时不变系统（LTI）穩定的充份必要條件。劳斯測試是由英國數學家在1876年提出的快速演算法，可以判斷一線性系統其特徵多項式的根是否都有負的實部。德國數學家阿道夫·赫維茲在1895年獨立的提出將多項式的係數放到一個方陣中（此方陣稱為赫維茲矩陣），證明多項式穩定若且唯若赫維茲矩陣的主要子矩陣其行列式形成的數列均為正值。二個程序是等價的，而劳斯測試提供一個有效計算赫維茲行列式的方法。滿足劳斯–赫尔维茨稳定性判据的多項式稱為赫爾維茨多項式。 此稳定性判据之所以重要，是因為若線性系統之特徵方程式的根p均有負的實部，表示其解ept為穩定的（BIBO穩定）。因此稳定性判据提供了方式，可以在不求解線性系統的运动方程的情形下，判斷其是否只有穩定解。對於離散系統，對應穩定性的測試可以由Schur–Cohn判据、及來判斷。隨著電腦的進步，此稳定性判据變的較少使用，另一種判斷的方式則是用數值方法直接求解多項式，得到其解的近似值。 劳斯測試可以由輾轉相除法以及在計算時用施图姆定理來。赫尔维茨利用另一種方式來推導其稳定性判据。. 控制理論是工程學與數學的跨領域分支，主要處理在有輸入信號的動力系統的行為。系統的外部輸入稱為「參考值」，系統中的一個或多個變數需隨著參考值變化，控制器處理系統的輸入，使系統輸出得到預期的效果。 控制理論一般的目的是藉由控制器的動作讓系統穩定，也就是系統維持在設定值，而且不會在設定值附近晃動。 連續系統一般會用微分方程來表示。若微分方程是線性常係數，可以將微分方程取拉普拉斯轉換，將其輸入和輸出之間的關係用傳遞函數表示。若微分方程為非線性，已找到其解，可以將非線性方程在此解附近進行線性化。若所得的線性化微分方程是常係數的，也可以用拉普拉斯轉換得到傳遞函數。 傳遞函數也稱為系統函數或網路函數，是一個數學表示法，用時間或是空間的頻率來表示一個線性常係數系統中，輸入和輸出之間的關係。 控制理论中常用方塊圖來說明控制理论的內容。.

奈奎斯特稳定判据

在控制理论和中，奈奎斯特稳定判据（Nyquist stability criterion）贝尔实验室的瑞典裔美国电气工程师哈里·奈奎斯特于1932年发现， on 用于确定動態系统稳定性的一种图形方法。由于它只需检查对应开环系统的奈奎斯特图，可以不必准确计算闭环或开环系统的零极点就可以使运用（虽然必须已知右半平面每一种类型的奇点的数目）。因此，他可以用在由无理函数定义的系统，如时滞系统。与波德圖相比，它可以处理右半平面有奇点的传递函数。此外，还可以很自然地推广到具有多个输入和多个输出的复杂系统，如飞机的控制系统。 奈奎斯特准则广泛应用于电子和控制工程以及其他领域中，用以设计、分析反馈系统。尽管奈奎斯特判据是最一般的稳定性测试之一，它还是限定在线性非時變（LTI）系统中。非线性系统必须使用更为复杂的稳定性判据，例如李雅普诺夫或。虽然奈奎斯特判据是一种图形方法，但它只能提供为何系统是稳定的或是不稳定的，或如何将一个系统改变得稳定的有限的直观感受。而波德圖等方法尽管不太一般，有时却在设计中更加有用。.

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穩定多項式

在探討微分方程或是差分方程的時，多項式若滿足任一個性質，即稱為穩定：.

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線性系統

線性系統是一數學模型，是指用線性運算子組成的系統。相較於非線性系統，線性系統的特性比較簡單。例如以下的系統即為一線性系統： 由於線性系統較容易處理，許多時候會將系統理想化或簡化為線性系統。線性系統常應用在自動控制理論、信號處理及電信上。像無線通訊訊號在介質中的傳播就可以用線性系統來模擬。 線性系統需滿足線性的特性，若線性系統還滿足非時變性（即系統的輸入信號若延遲τ秒，那麼得到的輸出除了這τ秒延時以外是完全相同的），則稱為線性時不變系統。.

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控制工程

控制工程（Control engineering）是有关控制理论研究与应用的一门工程学。控制系统的实现通常基于传感器的使用，它可以测量被控制设备的性能参数，然后收集到的数据以反馈的形式施加到执行器上，使得执行器输出一定的信号，确保系统工作在预期的状态。工程师可以设计无需人介入、可以自适应、自动修正误差的设备系统，这种系统被称为“自动控制”，例如汽车的巡航定速系统。控制工程在本质上是一个交叉学科，而描述系统行为的数学模型则又是重中之重。.

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根軌跡圖

根軌跡圖（root locus）是控制理論及中，繪圖分析的方式，可以看到在特定參數（一般會是回授系統的环路增益）變化時，系統極點的變化。根軌跡圖是由所發展的技巧，是中的稳定性判据，可以判斷線性非時變系統是否穩定。 根軌跡圖是在複數s-平面中，系統閉迴路傳遞函數的极点隨著增益參數的變化（參照）。.

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有界輸入有界輸出穩定性

在信號處理及控制理論中，有界輸入有界輸出穩定性簡稱BIBO穩定性，是一種針對有輸入信號線性系統的穩定性。BIBO是「有界輸入有界輸出」（Bounded-Input Bounded-Output）的簡稱，若系統有BIBO穩定性，則針對每一個有界的輸入，系統的輸出也都會有界，不會發散到無限大。 對於信號若存在有限的定值B > 0使得信號的振幅不會超過B，則此信號為有界的，也就是說.

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时不变系统

非時變系統是输出不會直接隨著时间变化的系统。 如果系统的传递函数不是时间的函数，就可以满足这个特性。这个特性也可以用示意图的术语进行描述.

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