分形和英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度

快捷方式: 差异，相似，杰卡德相似系数，参考。

分形和英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度之间的区别

分形 vs. 英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度

分形（Fractal），又稱--、殘形，通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小後的形狀」，即具有自相似的性質。 碎形思想的根源可以追溯到公元17世紀，而對碎形使用嚴格的數學處理則始於一個世紀後卡爾·魏爾施特拉斯、格奧爾格·康托爾和費利克斯·豪斯多夫對連續而不可微函數的研究。但是碎形（fractal）一詞直到1975年才由本華·曼德博創造出來，字源來自拉丁文 frāctus，有「零碎」、「破裂」之意。一個數學意義上碎形的生成是基於一個不斷迭代的方程式，即一種基於遞歸的反饋系統。碎形有幾種類型，可以分別依據表現出的精確自相似性、半自相似性和統計自相似性來定義。雖然碎形是一個數學構造，它們同樣可以在自然界中被找到，這使得它們被劃入藝術作品的範疇。碎形在醫學、土力學、地震学和技术分析中都有应用。. 《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》（How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension）是由本華·曼德博寫的論文，最初在1967年於《科學》發表。在這篇論文內曼德博討論了維度於1和2之間的自相似曲線。雖然曼德博沒有使用分形（fractal）這個詞彙，惟這些曲線均為分形。 論文的首部分，曼德博討論了路易斯·弗賴·理查森對海岸線與其他自然地理邊界的測量出來的長度如何依賴測量尺度的研究。理查森觀察到，不同國家邊界測量出來的長度L(G)是測量尺度G的一個函数。他從不同的好幾個例子裏搜集資料，然後猜想L(G)可以透過以下形式的一個函數來估計： 曼德博將此結果詮釋成顯示海岸線和其他地理邊界可有統計自相似的性質，而指數D則計算邊界的豪斯道夫維度。透過這個看法，理查森的研究的例子的有著從南非海岸線的1.02到英國西岸的1.25的維度。 在論文的第二部分，曼德博描述了不同的關於科赫雪花的曲線，它們都是標準的自相似圖形。曼德博顯示計算它們的豪斯道夫維度的方法，它們的維度都是1和2之間。他亦提及填滿空間、維度為2的皮亞諾曲線，但並未給出其構造。 這篇論文很重要，因為它既顯示了曼德博早期對分形的思想，同時又是數學物件和自然形式的聯結的例子——曼德博以後很多工作的主題。 Y Y Y.

函数

函數在數學中為兩集合間的一種對應關係：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x2的關係就是一個函數，若以3作為此函數的輸入值，所得的輸出值便是9。 為方便起見，一般做法是以符號f,g,h等等來指代一個函數。若函數f以x作為輸入值，則其輸出值一般寫作f(x)，讀作f of x。上述的平方函數關係寫成數學式記為f(x).

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科赫曲線

科赫曲線是一種zh:分形; zh-hans:分形; zh-hant: 碎形-。其形態似雪花，又稱科赫雪花、雪花曲線。其豪斯多夫維是\log 4/\log 3。 它最早出現在海里格·冯·科赫的論文《關於一條連續而無切線，可由初等幾何構作的曲線》（1904年，法語原題：Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire）。 科赫曲線是de Rham曲線的特例。 給定線段AB，科赫曲線可以由以下步驟生成：.

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自相似

如果一個物體自我相似，表示它和它本身的一部分完全或是幾乎相似。若說一個曲線自我相似，即每部分的曲線有一小塊和它相似。自然界中有很多東西有自我相似性質，例如海岸線。 自我相似是分形的重要特質。.

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本華·曼德博

本華·曼德博（Benoît B. Mandelbrot，）又译伯努瓦·曼德勃罗、曼德布洛特，生於波蘭華沙，法国、美国数学家。幼年随全家移居法國巴黎，大半生均在美国度过，擁有法國和美國的雙重國籍。曼德博的研究范围广泛，从数学物理到金融数学，但他最大的成就则是创立了分形几何。他创造了“分形”这个名词，并且描述了曼德博集合。他也致力于向大众介绍自己的理论，通过面向普通公众的著作和演讲，使他的研究成果广为人知。 本華·曼德博是他所用的中文名，在他的耶魯大學個人網頁首頁可以見到。.

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海岸線

海岸线，海水面和陆地的分界線。.

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