体积形式和覆疊空間

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体积形式和覆疊空間之间的区别

体积形式 vs. 覆疊空間

数学中，体积形式提供了函数在不同坐标系（比如球坐标和圆柱坐标）下对体积积分的一种工具。更一般地，一个体积元是流形上一个测度。 在一个定向n-维流形上，体积元典型地由体积形式生成，所谓体积元是一个处处非零的n-阶微分形式。一个流形具有体积形式当且仅当它是可定向的，而可定向流形有无穷多个体积形式（细节见下）。 有一个推广的伪体积形式概念，对无论可否定向的流形都存在。 许多类型的流形有典范的（伪）体积形式，因为它们有额外的结构保证可选取一个更好的体积形式。在复情形，一个带有全纯体积形式的凯勒流形是卡拉比-丘流形。. 在拓撲學中，拓撲空間X的覆疊空間是一對資料(Y,p)，其中Y是拓撲空間，p: Y \to X是連續的滿射，並存在X的一組開覆盖 使得對每個U \in \mathcal，存在一個離散拓撲空間F及同胚：\phi_U: U \times F \simeq p^(U)，而且p \circ \phi_U: U \times F \to U是對第一個坐標的投影。 滿足上述性質的p: Y \to X稱為覆疊映射。當X連通時，F的基數是個常數，稱為覆疊的次數或重數。 空間X的覆疊構成一個範疇\mathbf_X，其對象形如p: Y \to X，從p: Y \to X到q: Z \to X態射是連續映射f: Y \to Z，且q \circ f.

流形

流形（Manifolds），是局部具有欧几里得空间性质的空间，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。 流形在数学中用于描述几何形体，它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。位形空间中也可以定义流形。环面就是双摆的位形空间。 一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析几何结构看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。例如一个多项式，如果你知道 (0,1) 区间的取值，则整个实数范围的值都是固定的，所以局部的变动会导致全局的变化。光滑流形可以看作是介于两者之间的模型：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。这也许是中文译名“流形”的原因（整体的形态可以流动）。该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。.

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