代數曲線和別雷定理

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代數曲線和別雷定理之间的区别

代數曲線 vs. 別雷定理

在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面\mathbb^2上由一個齊次多項式f(X,Y)定義的零點。. 數學上，別雷定理（Belyi's theorem）是有關代數曲線的定理，指出任何用代數數係數定義的代數曲線C，都代表這樣的一個，這黎曼曲面能作為黎曼球面的，且只有三個分歧點。 這定理是1979年的結果。這個結果當時令人大感意外，激發格羅滕迪克發展出理論，使用組合數學資料描述代數數上的非奇異代數曲線。 格羅滕迪克曾在《》評價這定理說：「不到一年後，在赫爾斯基的國際數學家大會中，蘇聯數學家別雷宣佈了正正這個結果，證明令人困惑地簡單，德利涅一封信的兩小頁也容得下。毫無疑問，從未有一個深刻且令人迷惑的結果，如此短短數行就證明出來！.

尖點

尖點（cusp）是曲線中的一種奇點。曲線上的動點在移到尖點時會開始反向移動，右圖是一個典型的例子。 給定一個以解析參數式定義的平面曲線： x&.

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黎曼曲面

数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被視为是一个复平面的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。例如，他们可以看起来像球或是环，或者两个页面粘在一起。 黎曼曲面的精髓在于在曲面之间可以定义全纯函数。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像平方根和自然对数这样的多值函數。 每个黎曼曲面都是二维实解析流形（也就是曲面），但它有更多的结构（特别是一个複結構），因为全純函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面（通常有几种不同的方式）当且仅当它是可定向的。所以球和环有複結構，但是莫比乌斯带，克莱因瓶和射影平面没有。 黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给與其它曲线，流形或簇上的推广提供了直观的理解和动力。黎曼-罗赫定理就是这种影响的最佳例子。.

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