亚纯函数和极点 (复分析)

快捷方式: 差异，相似，杰卡德相似系数，参考。

亚纯函数和极点 (复分析)之间的区别

亚纯函数 vs. 极点 (复分析)

在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。 每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。 直观的讲，一个亚纯函数是两个性质很好的（全纯）函数的比。这样的函数本身性质也很“好”，除了分式的分母为零的点，那时函数的值为无穷。 从代数的观点来看，如果D是一个连通集，则亚纯函数的集合是全纯函数的整域的分式域。这和有理数 \mathbb和整数 \mathbb的关系类似。. 亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同z-a.

可去奇点

在复分析中，一个全纯函数的可去奇点（removable singularity），有时称为装饰性奇点（cosmetic singularity）是这样的点，在此处函数表面上没有定义，但是通过细致地分析，函数的定义域可以扩大到该奇点，使得延拓后的函数仍然全纯。 例如函数： 对 z ≠ 0 有一个奇点 z.

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复平面

数学中，复平面（complex plane）是用水平的实轴与垂直的虚轴建立起来的复数的几何表示。它可视为一个具有特定代数结构笛卡儿平面（实平面），一个复数的实部用沿着 x-轴的位移表示，虚部用沿着 y-轴的位移表示。 复平面有时也叫做阿尔冈平面，因为它用于阿尔冈图中。这是以让-罗贝尔·阿尔冈（1768-1822）命名的，尽管它们最先是挪威-丹麦土地测量员和数学家卡斯帕尔·韦塞尔（1745-1818）叙述的。阿尔冈图经常用来标示复平面上函数的极点与零点的位置。 复平面的想法提供了一个复数的几何解释。在加法下，它们像向量一样相加；两个复数的乘法在极坐标下的表示最简单——乘积的长度或模长是两个绝对值或模长的乘积，乘积的角度或辐角是两个角度或辐角的和。特别地，用一个模长为 1 的复数相乘即为一个旋转。.

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开集

開集是指不包含任何自己邊界點的集合。或者說，開集包含的任意一點的充分小的鄰域都包含在其自身中。 例如，实数线上的由不等式2规定的集合称为开区间，是开集。这时候的边界为实数轴上的点2和5，如由不等式2\leq x \leq 5，或者2规定的区间由于包含其边界，因此不能称之为开集。 开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的，通常先公理化开集，然后通过其定义边界的概念。（详细请参照拓扑空间）.

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本质奇点

在复分析中，一个函数的本质奇点（Essential Singularity）又称本性奇点，是奇点中的“嚴謹”的一类。函数在本质奇点附近会有“极端”的行为。 粗略来说，对复平面 C 上的给定的开子集 U，以及 U 中的一点 a，亚纯函数 f: U\ → C 在 a 处有本质奇点当且仅当它不是极点也不是可去奇点。 例如，函数 f(z).

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