中值定理和数学分析

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中值定理和数学分析之间的区别

中值定理 vs. 数学分析

在實分析中，中值定理（mean value theorem）描述了連續光滑曲線在兩點之間的光滑性： 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。. 数学分析（mathematical analysis）区别于其他非数学类学生的高等数学内容，是分析学中最古老、最基本的分支，一般指以微积分学、无穷级数和解析函數等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数、測度和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。出自《数学辞海（第一卷）》 数学分析研究的內容包括實數、複數、實函數及複變函數。数学分析是由微積分演進而來，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综合性分析方法，且初等微積分中也包括許多數學分析的基礎概念及技巧，可以认为这些应用方法是高等微积分生成的前提。数学分析的方式和其幾何有關，不過只要任一數學空間有定義鄰域（拓扑空间）或是有針對兩物件距離的定義（度量空间），就可以用数学分析的方式進行分析。.

实变函数论

實分析或實數分析是處理實數及實函數的數學分析。專門實數函數及數列的解析特性，包括實數數列的極限，實函數的微分及積分、連續性，光滑性以及其他相關性質。 實分析常以基礎集合論，函數概念定義等等開始。.

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导数

导数（Derivative）是微积分学中重要的基礎概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数f的自变量在一点x_0上产生一个增量h时，函數输出值的增量與自變量增量h的比值在h趋于0时的極限如果存在，即為f在x_0处的导数，记作f'(x_0)、\frac(x_0)或\left.\frac\right|_。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在這一点上的切线斜率。 对于可导的函数f，x \mapsto f'(x)也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。.

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微分

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。当某些函数\textstyle f的自变量\textstyle x有一个微小的改变\textstyle h时，函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量\textstyle h，可以表示成\textstyle h和一个与\textstyle h无关，只与函数\textstyle f及\textstyle x有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在\textstyle h上的值。另一部分是比\textstyle h更高阶的无穷小，也就是说除以\textstyle h后仍然会趋于零。当改变量\textstyle h很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在\textstyle x处的微分，记作\displaystyle f'(x)h或\displaystyle \textrmf_x(h)。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。 不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。 在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量\textstyle h映射到变化量的线性部分的线性映射\displaystyle \textrmf_x。这个映射也被称为切映射。.

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函数

函數在數學中為兩集合間的一種對應關係：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x2的關係就是一個函數，若以3作為此函數的輸入值，所得的輸出值便是9。 為方便起見，一般做法是以符號f,g,h等等來指代一個函數。若函數f以x作為輸入值，則其輸出值一般寫作f(x)，讀作f of x。上述的平方函數關係寫成數學式記為f(x).

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罗尔定理

罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数f(x)满足.

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