丢番图和数论

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丢番图和数论之间的区别

丢番图 vs. 数论

亞歷山大港的丟番图（希臘語：Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς，生卒年約公元200～214至公元284～298），有“代數之父”之稱；也有人認為此稱謂應與比他大約晚出生五百年的一位波斯數學家花拉子米共享。 人们对丢番图的生活知之甚少。在罗马时代，他住在埃及的亚历山大港，大概从公元200年到214年，到284年或298年。丢番图曾被历史学家描述为希腊人，非希腊人，希腊化的埃及人，希腊化的巴比伦人，犹太人，或者是迦勒底人。我们对丢番图生活的了解，来自于一个5世纪的希腊文集。 他作著的叢書《算術》（Arithmetica）處理求解代數方程組的問題，但其中有不少已經遺失。後來當法國數學家費馬研究《算術》一書時，對其中某個方程頗感興趣並認為其無解，說他對此「已找到一個絕妙的證明」，但他卻没有寫下來，三個世紀後才出現完整的證明，詳見費馬大定理。在數論中常常能看到他的名字，如丟番圖方程、丟番圖幾何、丟番圖逼近等都是數學裡重要的研究領域。丟番圖是第一個承認分數是一種數的希臘數學家－－他允許方程中的系數和解為有理數，這是在數學史中具有開創性的。不過在今天，丟番圖方程一詞通常指以整數作為系數的代數方程，而其解也要求是整數。丟番圖在數學符號方面也作出了貢獻。. 數論是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性質。被譽為「最純」的數學領域。 正整数按乘法性质划分，可以分成質数，合数，1，質数產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數猜想等，即。很多問題虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。 整数可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。 數論早期稱為算術。到20世紀初，才開始使用數論的名稱，而算術一詞則表示「基本運算」，不過在20世紀的後半，有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。1952年時數學家Harold Davenport仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」。 卡尔·弗里德里希·高斯曾說：「數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。.

丟番圖逼近

丢番图分析是数论的一个分支。最经典的丢番图逼近主要用於有理数逼近实数，亦即实数的有理逼近相关问题。其中有理数一般用分数形式表达，且一律要求分子为整数，分母为正整数，通常要求是既约分数。 "丢番图逼近"的名称源于古希腊数学家丢番图。这是因为有理逼近可以归结为求不等式整数解的问题，而求方程整数解的问题一般称为丢番图方程（或不定方程），故而得名。事实上，丢番图逼近与不定方程的研究确有颇多相关。 丢番图逼近的首要问题是寻求实数的最佳（有理）丢番图逼近，简称最佳逼近。具体来说，对于一个实数 \alpha，希望找到一个"最优"的有理数 p/q 作为 \alpha 的近似，使在分母不超过 q 的所有有理数中，p/q 与 \alpha 的距离最小。这里的"距离"可以是欧氏距离，即两数之差的绝对值；也可以用 |q\alpha-p| 等方式度量。满足此类要求的有理数 p/q 称为实数 \alpha 的一个最佳逼近。关于如何寻找实数的最佳逼近及相关论题，已于18世纪随着连分数理论的发展得到基本解决。 其后，该领域的主要注意力转向对有理逼近的误差进行估计、度量，以给出尽可能精确的上下界（一般用分母的函数表示）。作为分母的函数, 这种上下界的阶与 \alpha 的性质密切相关。当 \alpha 分别为有理数、代数数、超越数时，其最佳逼近误差下界的阶是不同的。基于这种思想，刘维尔在1844年建立了有关代数数逼近的一个基本结论，并由此具体地构造出了一个超越数（参见刘维尔数），证明了它的超越性。这在人类历史上尚属首次。由此可见，丢番图逼近与数论的另一分支——超越数论紧密相关。 除了上述最经典的单个实数的有理逼近问题，该领域还包括多个实数的联立逼近，非齐次逼近，实数的代数数逼近，一致分布（均匀分布）等方面。甚至连p进数上的丢番图逼近也有颇多研究。.

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丟番圖方程

丟番圖方程，是未知数只能使用整數的整數係數多項式等式；即形式如a_1 x_1^+a_2 x_2^+......+a_n x_n^.

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皮埃爾·德·費馬

埃爾·德·費馬（姓氏依發音亦作費爾瑪。Pierre de Fermat，，法語發音），法國律師、業餘數學家（也被称为数学大师、业余数学家之王）。他在數學上的成就不低于職業數學家，似乎對數論最有興趣，亦對現代微積分的建立有所貢獻。.

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费马大定理

费马大定理，也称費馬最後定理（Le dernier théorème de Fermat)；(Fermat's Last Theorem），其概要為： 以上陳述由17世纪法国数学家费马提出，一直被稱為「费马猜想」，直到英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew John Wiles）及其學生理查·泰勒（Richard Taylor）於1995年將他們的證明出版後，才稱為「費馬大定理」。這個猜想最初出現費馬的《頁邊筆記》中。儘管費馬表明他已找到一個精妙的證明而頁邊没有足夠的空位寫下，但仍然經過數學家們三個多世紀的努力，猜想才變成了定理。在衝擊這個数论世紀难题的過程中，無論是不完全的還是最後完整的證明，都給數學界帶來很大的影響；很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生了，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅瓦理論和赫克代數等。這也令人懷疑當初費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯由於成功證明此定理，獲得了包括邵逸夫獎在内的数十个奖项。.

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有理数

数学上，可以表达为两个整数比的数(a/b, b≠0)被定义为有理数，例如3/8，0.75(可被表达为3/4)。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是无理数，如\sqrt无法用整数比表示。 有理数与分數的区别，分數是一种表示比值的记法，如 分數\sqrt/2 是无理数。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或\mathbb。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。.

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