不變量理論和射影几何

快捷方式: 差异，相似，杰卡德相似系数，参考。

不變量理論和射影几何之间的区别

不變量理論 vs. 射影几何

不變量理論是數學的一個分支，它研究群在代數簇上的作用。不變量理論的古典課題是研究在線性群作用下保持不變的多項式函數。 對於有限群，不變量理論與伽羅瓦理論有密切聯繫，一個較早的結果涉及了對稱群 S_n 在多項式環 F 上的作用：S_n 作用下的不變量構成一個子環，由基本對稱多項式生成，由於基本對稱多項式彼此代數獨立，此不變量環本身也同構於另一多項式環。Chevalley-Shephard-Todd 定理刻劃了其不變量環同構於多項式環的有限群。晚近的研究則更關切算法問題，例如計算不變量環的生成元，或給出其次數的上界。 對於一般的代數群，其不變量理論與線性代數、二次型及行列式理論密切相關。 大衛·蒙福德在1960年代創建了幾何不變量理論，這是構造模空間的有力工具。此理論探討代數簇在群作用下的商空間，並研究軌道的幾何性質。幾何不變量理論與古典不變量理論的關聯如次：考慮域 k 上的仿射代數簇 X. 在數學裡，投影幾何（projective geometry）研究在投影變換下不變的幾何性質。與初等幾何不同，投影幾何有不同的設定、投影空間及一套基本幾何概念。直覺上，在一特定維度上，投影空間比歐氏空間擁有「更多」的點，且允許透過幾何變換將這些額外的點（稱之為無窮遠點）轉換成傳統的點，反之亦然。 投影幾何中有意義的性質均與新的變換概念有關，此一變換比透過變換矩陣或平移（仿射變換）表示的變換更為基礎。對幾何學家來說，第一個問題是要找到一個足以描述這個新的想法的幾何語言。不可能在投影幾何內談論角，如同在歐氏幾何內談論一般，因為角並不是個在投影變換下不變的概念，如在透視圖中所清楚看到的一般。投影幾何的許多想法來源來自於對透視圖的理論研究。另一個與初等幾何不同之處在於，平行線可被認為會在無窮遠點上交會，一旦此一概念被轉換成投影幾何的詞彙之後。這個概念在直觀上，正如同在透視圖上會看到鐵軌在水平線上交會一般。有關投影幾何在二維上的基本說明，請見投影平面。 雖然這些想法很早以前便已存在，但投影幾何的發展主要還是到19世紀才開始。大量的研究使得投影幾何變成那時幾何的代表學科。當使用複數的坐標（齊次坐標）時，即為研究複投影空間之理論。一些更抽象的數學（包括不變量理論、代數幾何義大利學派，以及菲利克斯·克萊因那導致古典群誕生的愛爾蘭根綱領）都建立在投影幾何之上。此一學科亦吸引了許多學者，在綜合幾何的旗幟之下。另一個從投影幾何之公理化研究誕生的領域為有限幾何。 投影幾何的領域又可細分成許多的研究領域，其中的兩個例子為投影代數幾何（研究投影簇）及投影微分幾何（研究投影變換的微分不變量）。.

大卫·希尔伯特

大卫·希尔伯特（David Hilbert，），德国数学家，是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒），1943年在德国哥廷根逝世。他因为发明了大量的思想观念（例：不变量理论、、希尔伯特空间）而被尊为伟大的数学家、科学家。 他提出了希尔伯特空间的理論，是泛函分析的基礎之一。他热忱地支持康托的集合论与无限数。他在数学上的领导地位充分体现于：1900年，在巴黎的国际数学家大会提出的一系列问题（希尔伯特的23个问题）为20世纪的许多数学研究指出方向。 希尔伯特和他的学生为形成量子力学和广义相对论的数学基础做出了重要的贡献。他还是证明论、数理逻辑、区分数学与元数学之差别的奠基人之一。.

不變量理論和大卫·希尔伯特 · 大卫·希尔伯特和射影几何 · 查看更多 »

线性代数

线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支。它包括对线、面和子空间的研究，同时也涉及到所有的向量空间的一般性质。 坐标满足线性方程的点集形成n维空间中的一个超平面。n个超平面相交于一点的条件是线性代数研究的一个重要焦点。此项研究源于包含多个未知数的线性方程组。这样的方程组可以很自然地表示为矩阵和向量的形式。 线性代数既是纯数学也是应用数学的核心。例如，放宽向量空间的公理就产生抽象代数，也就出现若干推广。泛函分析研究无穷维情形的向量空间理论。线性代数与微积分结合，使得微分方程线性系统的求解更加便利。线性代数的理论已被泛化为。 线性代数的方法还用在解析几何、工程、物理、自然科学、計算機科學、计算机动画和社会科学（尤其是经济学）中。由于线性代数是一套完善的理论，非线性数学模型通常可以被近似为线性模型。.

不變量理論和线性代数 · 射影几何和线性代数 · 查看更多 »

群

在數學中，群是由一個集合以及一個二元運算所組成的，符合下述四个性质（称为“群公理”）的代數結構。这四个性质是封闭性、結合律、單位元和对于集合中所有元素存在逆元素。 很多熟知的數學結構比如數系統都遵从群公理，例如整數配備上加法運算就形成一個群。如果将群公理的公式從具体的群和其運算中抽象出來，就使得人们可以用靈活的方式来處理起源于抽象代數或其他许多数学分支的實體，而同时保留對象的本質結構性质。 群在數學內外各個領域中是無處不在的，这使得它們成為當代數學的组成的中心原理。 群與對稱概念共有基礎根源。對稱群把幾何物體的如此描述物体的對稱特征：它是保持物體不變的變換的集合。這種對稱群，特別是連續李群，在很多學術學科中扮演重要角色。例如，矩陣群可以用來理解在狹義相對論底層的基本物理定律和在分子化學中的對稱現象。 群的概念引發自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽罗瓦在1830年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何学的貢獻之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，它以自己的方式研究群。為了探索群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和單群。除了它們的抽象性質，群理論家還從理論和計算兩種角度來研究具體表示群的各種方式（群的表示）。對有限群已經發展出了特別豐富的理論，這在1983年完成的有限簡單群分類中達到頂峰。从1980年代中叶以来，将有限生成群作为几何对象来研究的几何群论，成为了群论中一个特别活跃的分支。.

不變量理論和群 · 射影几何和群 · 查看更多 »