不定积分和高斯积分

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不定积分和高斯积分之间的区别

不定积分 vs. 高斯积分

在微积分中，一个函数f. 斯积分（Gaussian integral），有时也被称为概率积分，是高斯函数（e−x2）在整个實數線上的积分。它是依德国数学家兼物理学家卡爾·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。 这个积分用处很广。例如，在变量略有变化的情况下，它用于计算正态分布的。还是这个积分，在极限为有限值的时候，与正态分布的误差函数和累积分布函数密切相关。在物理学中，这种积分经常出现，例如在量子力学中，为了求谐振子基态的概率密度，以及在路径积分公式中，求谐振子的传播子，我们都要用到这个积分。 尽管误差函数不存在初等函数，但可以通过Risch算法证明，高斯积分可以通过多元微积分方法分析求解。下面这个不定积分 无法用初等函数表示，但可以计算定积分 任意高斯函数的定积分为 在物理学中，经常用到高斯积分；而在量子场论中会用到许多该积分的推广形式。.

初等函数

初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有限次乘方、有限次开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。.

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积分

积分是微积分学与数学分析裡的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数 f(x)， f(x)在一个实数区间 上的定积分 可以理解为在 \textstyle Oxy坐标平面上，由曲线 (x,f(x))、直线x.

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误差函数

在数学中，误差函数（也称之为高斯误差函数）是一个特殊函数（即不是初等函数），其在概率论，统计学以及偏微分方程中都有广泛的应用。它的定义如下：Greene, William H.; Econometric Analysis (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn.

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Risch算法

Risch算法由Robert Henry Risch而得名，是一個計算不定積分（反導函數）的算法。Risch算法可以將積分的問題轉換為代數的問題。Risch算法以要積分函數的形式為基礎，而且配合有理函數、方根、指數及對數函數的積分方式。Risch在1968年提出此算法，將此算法視為決定性程序，因為此算法可以判定一个函数的不定積分是否为初等函數；若答案是肯定的，算法还可以找出此不定積分。在.

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