1-形式和向量空间

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1-形式和向量空间之间的区别

1-形式 vs. 向量空间

在线性代数中，1-形式（one-form）是向量空间上的一種线性泛函。1-形式在这种向量空间语境中的使用方式，通常区别於高阶的多重线性泛函中的1-形式。细节参见线性泛函。 在微分几何中，可微流形上的1-形式是余切丛的一个光滑截面。具体说来，流形 M 上的1-形式是M 的切丛的全空间到 R 的一个光滑映射，限制在每个纤维上是切空间上的线性泛函。用符号表示， 这里 αx 是线性的。 1-形式经常局部地描述，特别是在一个局部坐标中。在一个局部坐标系中，1-形式是坐标的微分的线性组合： 这里 fi 是光滑函数。注意这里使用上指标，不要与幂混淆。从这种观点来看，一个 1-形式从一个坐标系变到另一个时有共变变换法则。从而一个 1-形式是秩 1 共变张量场。. 向量空間是现代数学中的一个基本概念。是線性代數研究的基本对象。 向量空间的一个直观模型是向量几何，幾何上的向量及相关的運算即向量加法，標量乘法，以及对運算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空間”这个數學概念的直观形象。 在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。.

线性代数

线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支。它包括对线、面和子空间的研究，同时也涉及到所有的向量空间的一般性质。 坐标满足线性方程的点集形成n维空间中的一个超平面。n个超平面相交于一点的条件是线性代数研究的一个重要焦点。此项研究源于包含多个未知数的线性方程组。这样的方程组可以很自然地表示为矩阵和向量的形式。 线性代数既是纯数学也是应用数学的核心。例如，放宽向量空间的公理就产生抽象代数，也就出现若干推广。泛函分析研究无穷维情形的向量空间理论。线性代数与微积分结合，使得微分方程线性系统的求解更加便利。线性代数的理论已被泛化为。 线性代数的方法还用在解析几何、工程、物理、自然科学、計算機科學、计算机动画和社会科学（尤其是经济学）中。由于线性代数是一套完善的理论，非线性数学模型通常可以被近似为线性模型。.

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