之间曲率和流形相似
曲率和流形有(在联盟百科)8共同点: 卡爾·弗里德里希·高斯,平面,圆柱体,嵌入,球,絕妙定理,黎曼流形,欧几里得空间。
卡爾·弗里德里希·高斯
约翰·卡爾·弗里德里希·高斯(Johann Karl Friedrich Gauß;), 德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,生于布伦瑞克,卒于哥廷根。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一Dunnington, G. Waldo.
卡爾·弗里德里希·高斯和曲率 · 卡爾·弗里德里希·高斯和流形 ·
平面
数学上,一个平面(plane)就是基本的二维对象。直观的讲,它可以视为一个平坦的拥有无穷大面积的纸。多数几何、三角学和制图的基本工作都在二维进行,或者说,在平面上进行。 给定一个平面,可以引入一个直角坐标系以便在平面上用两个数字唯一的标示一个点,这两个数字也就是它的坐标。 在三维x-y-z坐标系中,可以将平面定义为一个方程的集: 其中a, b, c和d是实数,使得a, b, c不全为0。或者,一个平面也可以参数化的表述,作为所有具有u + s v + t w形式的点的集合,其中s和t取遍所有实数,而u, v 和w是给定用于定义平面的向量。 平面由如下组合的任何一个唯一确定.
圆柱体
数学上,圆柱(古稱圓堡壔、圓囷,英語:cylinder)是一个二次曲面,也就是说,一个三维曲面,满足以下直角坐标系中的方程: 这个方程是用于椭圆柱的,是对于普通圆柱(a.
嵌入
嵌入可以指:.
球
球可以指:.
絕妙定理
絕妙定理(Theorema Egregium)是微分幾何中關於曲面的曲率的重要定理,由高斯發現。這定理說曲面的高斯曲率可以從曲面上的長度和角度的測量完全決定,無需理會曲面如何嵌入三維空間內。換言之,高斯曲率是曲面的內蘊不變量。用現代術語可表述為:.
黎曼流形
黎曼流形(Riemannian manifold)是一個微分流形,其中每點p的切空間都定義了點積,而且其數值隨p平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度及向量域的散度。 每個Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量:把Rn的點積都限制於切空間內。實際上,根据纳什嵌入定理,所有黎曼流形都可以這樣产生。 我們可以定義黎曼流形為和Rn的平滑子流形是等距同构的度量空間,等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从Rn导出的度量是相同的。这對建立黎曼幾何是很有用的。 黎曼流形可以定义为平滑流形,其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間: 如果γ: → M是黎曼流形M中一段連續可微分的弧線,我們可以定義它的長度L(γ)為 (注意:γ'(t)是切空間M在γ(t)點的元素;||·||是切空間的內積所得出的範數。) 使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空間(甚至是長度度量空間):在x與y兩點之間的距離d(x, y)定義為: 虽然黎曼流形通常是弯曲的,“直線”的概念依然存在:那就是測地線。 在黎曼流形中,測地線完备的概念,和拓撲完备及度量完备是等价的:每个完备性都可以推出其他的完备性,这就是Hopf-Rinow定理的内容。.
欧几里得空间
欧几里得几何是在约公元前300年,由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”,他接着分析三维物体的“立体几何”,所有欧几里得的公理被编排到幾何原本。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度,而这种空间叫做 n维欧几里得空间(甚至简称 n 维空间)或有限维实内积空间。 这些数学空间还可被扩展到任意维的情形,称为实内积空间(不一定完备), 希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。 为了开发更高维的欧几里得空间,空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。 尽管结果的数学非常抽象,它却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质,根本性质是它的平面性。 另存在其他種類的空间,例如球面非欧几里得空间,相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。.
上面的列表回答下列问题
- 什么曲率和流形的共同点。
- 什么是曲率和流形之间的相似性
曲率和流形之间的比较
曲率有41个关系,而流形有84个。由于它们的共同之处8,杰卡德指数为6.40% = 8 / (41 + 84)。
参考
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