幾乎所有和格蘭迪級數

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幾乎所有和格蘭迪級數之间的区别

幾乎所有 vs. 格蘭迪級數

在數學中，幾乎所有（Almost all）有幾種特別的用法。 有時，「幾乎所有」一詞表示除了有限集合下的所有元素，其正式名稱為餘有限空間（cofinite set），「幾乎所有」一詞也可表示除了可數集下的所有元素，其正式名稱為餘可數集（cocountable set），參照幾乎。 簡單的例子是幾乎所有質數是奇數，事實上只有一個質數（2）不是奇數，其餘的都是奇數。 當討論到實數時，「幾乎所有」一詞有時表示除了勒貝格測度為0的集合以外的所有實數，其正式名稱為幾乎處處。此概念下，幾乎所有實數都不在康托爾集中，即使康托爾集為不可數集也是如此。 在數論中，若P(n)是一個有關正整數的性質，而若p(N)表示當n小於N時，使P(n)成立n的個數，且 （參照極限）此時可以說對於幾乎所有的正整數n，P(n)成立，正式名稱是漸進幾乎必然，表示為下式： 例如質數定理說小於或等於N的質數個數漸進等於N/ln N。因此質數的比例大約是1/ln N，在N趨近於無限大時，上式會趨近於0。因此雖然存在無窮個質數，但幾乎所有的正整數都是合數。 偶爾「幾乎所有」會用來表示測度理論的幾乎處處，或是機率理論中的幾乎一定。. 格蘭迪級數(Grandi's series)，即1 − 1 + 1 − 1 + …，是在1703年由意大利數學家發表的，後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作 \sum_^ (-1)^n 它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對该發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的“和”出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為 \frac。 格蘭迪級數与级数1 − 2 + 3 − 4 + …有紧密的联系。欧拉将这两个级数当作的特例（其中n为任意自然数），这个级数既直接扩展了，他在巴塞尔问题上所做的工作，同时也引出了现在所知的狄利克雷η函数和黎曼ζ函数。.