亚纯函数和格蘭迪級數

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亚纯函数和格蘭迪級數之间的区别

亚纯函数 vs. 格蘭迪級數

在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。 每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。 直观的讲，一个亚纯函数是两个性质很好的（全纯）函数的比。这样的函数本身性质也很“好”，除了分式的分母为零的点，那时函数的值为无穷。 从代数的观点来看，如果D是一个连通集，则亚纯函数的集合是全纯函数的整域的分式域。这和有理数 \mathbb和整数 \mathbb的关系类似。. 格蘭迪級數(Grandi's series)，即1 − 1 + 1 − 1 + …，是在1703年由意大利數學家發表的，後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作 \sum_^ (-1)^n 它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對该發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的“和”出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為 \frac。 格蘭迪級數与级数1 − 2 + 3 − 4 + …有紧密的联系。欧拉将这两个级数当作的特例（其中n为任意自然数），这个级数既直接扩展了，他在巴塞尔问题上所做的工作，同时也引出了现在所知的狄利克雷η函数和黎曼ζ函数。.

黎曼ζ函數

黎曼ζ函數ζ（s）的定義如下： 設一複數s，其實數部份> 1而且： \sum_^\infin \frac 它亦可以用积分定义： 在区域上，此无穷级数收敛并为一全纯函数（其中Re表示--的实部，下同）。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s, s≠ 1）上的全纯函数ζ（s）。这也是黎曼猜想所研究的函数。 虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学（参看齊夫定律（Zipf's Law）和（Zipf-Mandelbrot Law））、物理，以及调音的数学理论中。.

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