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超現實數

指数 超現實數

在數學上,超現實數系統(Surreal Numbers)是一種連續統,其中含有實數以及無窮量,即無窮大(小)量,其絕對值大(小)於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質,包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算(加減乘除);也因此,它們構成了有序域。在嚴格的集合論意義下,超現實數是可能出現的有序域中最大的;其他的有序域,如有理數域、實數域、有理函數域、、和超實數域等,全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。 超現實數是由約翰·何頓·康威(John Horton Conway)所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納(Donald Knuth)在他的書《研究之美》中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說,而值得一提的是,這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡,高德納造了「surreal number」一詞,用來指稱康威起初只叫做「number」(數)的這個新概念。康威樂於採用新的名稱,後來在他1976年的著作《論數字與博弈》(On Numbers and Games)中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。.

32 关系: 加法加法逆元域 (數學)基數实数乘法序数二进分数分划冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论全序关系倒数类 (数学)約翰·何頓·康威绝对值無窮小量高德纳超现实主义超限数阿贝尔群艾普塞朗數集合集合论递归定义格羅滕迪克有序域有序对有理函數有理数有理數域无穷数学

加法

加法是基本的算术運算。加法即是將二個以上的數,合成一個數,其結果称為和。加法與減、乘、除合稱「四則運算」。 表達加法的符號為加號(+)。進行加法時以加號將各項連接起來。把和放在等號(.

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加法逆元

對於一個數n,存在一加法逆元(Additive Inverse,又稱相反數),其與n的和為零(加法單位元素)。n的加法逆元表示為-n。 在實數範圍內,兩個相反數相乘必不為正數。又,一個數x的相反數-x,被稱為其加法逆元;相對地,一個數x的倒數1/x,則被稱為其乘法逆元。.

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域 (數學)

在抽象代数中,域(Field)是一种可進行加、減、乘和除(除了除以零之外,「零」即加法單位元素)運算的代數結構。域的概念是数域以及四则运算的推广。 域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素(除零元素之外)可以进行除法运算,这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。體中的運算关于乘法是可交换的。若乘法運算沒有要求可交換則稱為除環(division ring)或skew field。.

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基數

#重定向 基数.

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实数

实数,是有理數和無理數的总称,前者如0、-4、81/7;后者如\sqrt、\pi等。实数可以直观地看作小數(有限或無限的),它們能把数轴「填滿」。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。实数和虚数共同构成复数。 根据日常经验,有理數集在數軸上似乎是「稠密」的,于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1公分的正方形為例,其對角線有多長?在規定的精度下(比如誤差小於0.001公分),總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果(比如1.414公分)。但是,古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現,只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度,這徹底地打擊了他們的數學理念;他們原以為:.

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乘法

乘法(Multiplication),加法的連續運算,同一数的若干次连加,其運算結果稱為積(Product)。 因為華人地區有將四則運算的被運算數和運算數統一位置,所以前者是被乘數後者是乘數,使用中文敘述為n個a。.

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序数

數學上,序數是自然數的一種擴展,與基數相對,著重於次序的性質。大於有限數的序數也稱作超限序數。 超限序数是由數學家格奥尔格·康托尔于1897年引入,用來考慮無窮序列,並用來對具有序结构的無窮集進行分類。.

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二进分数

二进分数,也称为二进有理数,是一种分母是2的幂的分数。可以表示成a/2b,其中,a 是一个整数,b 是一个自然数。例如:1/2,3/8,而1/3就不是。(英制单位中广泛采用二进分数,例如3/4英寸,1/16英寸,1/2磅。) 所有二进分数组成的集合在实数轴上是稠密的:任何实数x都可以用形为\lfloor 2^i x \rfloor / 2^i的二进分数无限逼近。与实数轴上的其它稠密集,例如有理数相比,二进分数是相对“小”的稠密集,这就是为什么它们有时出现在证明中(例如乌雷松引理)。 任何两个二进分数的和、积,与差也是二进分数: 但是,两个二进分数的商则一般不是二进分数。因此,二进分数形成了有理数Q的一个子环。 E.

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分划

分划是数学中对于全序集的操作。对于给定的全序集A及其中某个元素x而言,将A分拆为两个非空集合,使得两者其一中所有元素(按照顺序)均在x之前、另一中所有元素均在x之后。 常见的是对于全体有理数的操作,即A.

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冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论

在数学基础中,冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论(von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory,NBG)是设计生成同Zermelo-Fraenkel 集合论与选择公理一起(ZFC)同样结果的集合论公理系统,但只有有限数目的公理,即是不使用公理模式。 NBG首先由冯·诺伊曼在1920年代提出,從1937年开始由作修改,在1940年由哥德尔进一步简化。 不像ZFC,NBG只有有限多个公理。Richard Montague在1961年证明,不可能找到在逻辑上等价于ZFC的有限数目的公理;因此NBG的语言有能力谈论真类同谈论集合一样,并且关于集合的陈述在NBG中是可证明的,当且仅当它在ZFC中是可证明的(就是说NBG是ZFC的保守扩展)。.

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全序关系

全序关系即集合X上的反对称的、传递的和完全的二元关系(一般称其为\leq)。 若X满足全序关系,则下列陈述对于X中的所有a,b和c成立:.

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倒数

數學上,一个数\displaystyle x的倒数(reciprocal),或稱乘法逆元(multiplicative inverse),是指一個与\displaystyle x相乘的积为1的数,记为\displaystyle \tfrac或\displaystyle x^。在抽象代数中,倒数所对应的抽象化概念是乘法群的某个元素的“乘法逆”,也就是相对于群中“乘法”运算的逆元素。注意这个名词只当相应的群中的运算被称为“乘法”后才使用。如果群中的运算被称为“加法”,那么同样的概念称为“加法逆”。乘法逆的具体定义可以参见群的逆元素概念。 汉语中,名词倒数一般用来表示数字的乘法逆,一般在各种数域如:有理数、实数、复数,以及模n的同余类所构成的乘法群中使用。在复数域(实数域)中,每个除了0以外的复数(实数)都存在倒数:只要用某个数自身除1(也就是说用1除以某个数),即可得到它的倒数。用数学记号表示的话: 每个复数(实数)只有一个倒数。一般来说,并不是对所有的代数结构中的乘法运算,每个元素都存在其乘法逆,如对矩阵乘法来说,秩小于阶数的矩阵就没有乘法逆。一个环中的一个元素有乘法逆当且仅当它是可逆元,而它的乘法逆是唯一的当且仅当它不是一个零因子,或者说当它是一个正则元。每个非零元素都有乘法逆的环称为除环。每个非零元素都至多有一个乘法逆的环称为无零因子环。.

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类 (数学)

在集合論及其數學應用中,類是由集合(或其他數學物件)的搜集(collection),可以依所有成員所共享的性質被無歧定義。有些類是集合(例如由所有偶數構成的類),但有些則不是(如所有序數所構成的類或所有集合所構成的類)。一個不是集合的類被稱之為真類。一个是集合的类被称为“小类”。 在數學裡,有許多物件對集合而言太大,而必須以類來描述,像是大的範疇和超實數的類體之類等。要證明一給定「事物」為一真類,一般的做法是證明此一「事物」至少有著如序數一般多的元素。有關此一證明的例子,請參見。 真類不能是一個集合或者是一個類的元素,而且不受ZF集合論中的公理所限制;因此避免掉了許多樸素集合論中的悖論。反而,這些悖論成了證明某一個類是否為真類的方法之一。例如,羅素悖論可以證明由所有不包含集合自身的集合所構成的類是一個真類,而布拉利-福尔蒂悖论則可證明所有序數所構成的類是一個真類。 標準的ZF集合論公理不會論及到類;而在元語言中,類只作為邏輯公式的等價類而存在。馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論則採取了另一種方式;類在此一理論中是基礎的物件,而集合則被定義為可以是其他某些類的元素的類。真類,則為不可以是其他任何類的元素的類。 在其他集合論如新基础集合论或半集合的理論中,「真類」的概念依然是有意義的(不是任一堆事物都會是集合),但對集合特質的認定並非依據其大小。例如,所有包含全集的集合論都會有個是集合的子類的真類。 「類」這一詞有時會和「集合」同義,最為人知的是「等價類」這一術語。這種用法是因為從前對類和集合不如現今一樣地區別的緣故。許多19世紀之前對「類」的討論提及的實際上是集合,又或者會是個更為模糊的概念。.

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約翰·何頓·康威

約翰·何頓·康威(John Horton Conway,),生於英國利物浦,數學家,活躍於有限群的研究、趣味數學、紐結理論、數論、組合博弈論和編碼學等範疇。 康威年少時就對數學很有強烈的興趣:四歲時,其母發現他背誦二的次方;十一歲時,升讀中學的面試,被問及他成長後想幹甚麼,他回答想在劍橋當數學家。後來康威果然於劍橋大學修讀數學,現時為普林斯頓大學的教授。.

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绝对值

絕對值用來表示一個數至原點的距離之大小。絕對值的概念也可以定義在複數、有序環以及域上。.

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無窮小量

無窮小量是數學分析中的一個概念,用以嚴格地定義諸如「最終會消失的量」、「絕對值比任何正數都要小的量」等非正式描述。在經典的微積分或數學分析中,無窮小量通常它以函數、序列等形式出現,例如,一個序列a.

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高德纳

德納(Donald Ervin Knuth,音譯:唐納德·爾文·克努斯,),出生於美国密尔沃基,著名计算机科学家,斯坦福大学计算机系榮譽退休教授。高德纳教授為现代计算机科学的先驅人物,創造了演算法分析的領域,在數個理論計算機科學的分支做出基石一般的貢獻。在计算机科学及数学领域发表了多部具广泛影响的论文和著作。1974年圖靈獎得主。 高德纳最為人知的事蹟是,他是《计算机程序设计艺术》的作者。此書是計算機科學界最受高度敬重的參考書籍之一。此外還是排版軟件tex和字型設計系統Metafont的发明人。提出文学编程的概念,並創造了WEB與CWEB軟體,作為文學編程開發工具。.

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超现实主义

超现实主义(Surréalisme)是在法国開始的文化運動,直接地源于达达主义,於1920年至1930年間盛行於歐洲文學及藝術界中。其理论背景为弗洛伊德的精神分析学说和帕格森的直觉主义。强调直觉和下意识。给传统对艺术的看法有了巨大的影响。也常被稱為超現實主義運動。或簡稱為超現實。 人們對這場超現實主義運動瞭解得最多的是超現實主義的視覺藝術作品和超現實主義文學作品。藝術家將作品畫的像照片一樣,製造出讓人感到不舒服,覺得不合邏輯的意象,在作品中把日常的東西變為怪異的生物,還發明了許多利用無意識去表達自我的畫畫技法。 超现实主义源于达达主义运动,在第一次世界大战期间最主要的文化活动中心在巴黎。1920年以后超现实主义运动蔓延至各个领域,最终影响全球多个国家及语言的视觉艺术,文学,电源和音乐,乃至政治思想及政策实施,哲学及社会学理论。.

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超限数

超限数是大于所有有限数(但不必為绝对无限)的基数或序数,分別叫做超穷基数(transfinite cardinal number)和超穷序数(transfinite ordinal number)。术语「超限」(transfinite)是康托尔提出的,他希望避免词语无限(infinite)和那些只不过不是有限(finite)的那些对象有关的某些暗含。當時其他的作者少有这些疑惑;现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语「超限」仍在使用。 超穷序数可以確定超穷基数,並導出阿列夫数序列。 对于有限数,有两种方式考虑超限数,作为基数和作为序数。不像有限基数和序数,超限基数和超限序数定义了不同类别的数。.

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阿贝尔群

阿貝爾群(Abelian group)也稱爲交換群(commutative group)或可交換群,它是滿足其元素的運算不依賴於它們的次序(交換律公理)的群。阿貝爾群推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家尼尔斯·阿貝爾命名。 阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究對象是模和向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經被徹底地研究了。無限阿貝爾群理論則是目前正在研究的領域。.

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艾普塞朗數

艾普塞朗數ε乃是數學集合論中一系列的超限序數,其為指數映射的某些固定點。因此,它並不能透過較小序數有限次數的加法及乘法運算而獲得。康托爾原來引進的艾普塞朗數,乃以以下的方式定義:- ε乃是一個滿足以下式的序數,當中ω乃是最小的無限序數。 滿足上式的所有ε當中,最小的記為ε0。它可以透過以下的超限遞歸法獲得:- 其後如此類推, 更大的艾普塞朗數為\varepsilon_1, \varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_\omega, \varepsilon_, \ldots, \varepsilon_, \ldots, \varepsilon_, \ldots, \varepsilon_,\ldots。值得留意的是,ε0的基數,仍然為可數的。實際上,所有指標為可數的ε,其基數也是可數的。不可數的ε(意指滿足定義式\varepsilon.

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集合

集合可以指:.

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集合论

集合論(Set theory)或稱集論,是研究集合(由一堆構成的整體)的數學理論,包含集合和元素(或稱為成員)、關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中,都是在集合論的語言下談論各種。集合論、命題邏輯與謂詞邏輯共同構成了數學的公理化基礎,以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 現代集合論的研究是在1870年代由俄国数学家康托爾及德國数学家理察·戴德金的樸素集合論開始。在樸素集合論中,集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念,沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生一些後,二十世紀初期提出了許多公理化集合論,其中最著名的是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論,簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員,而是先規範可以描述其性質的一些公理。 集合論常被視為數學基礎之一,特別是 ZFC 集合論。除了其基礎的作用外,集合論也是數學理論中的一部份,當代的集合論研究有許多離散的主題,從實數線的結構到大基数的一致性等。.

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递归定义

递归定义是数理逻辑和计算机科学用到的一种定义方式,使用被定义对象的自身来为其下定义(简单说就是自我复制的定义)。递归定义与归纳定义类似,但也有不同之处。递归定义中使用被定义对象自身来定义,而归纳定义是使用被定义对象的已经定义的部分来定义尚未定义的部分。不过,使用递归定义的函数或集合,它们的性质可以用数学归纳法,通过递归定义的内容来证明。.

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格羅滕迪克

#重定向 亚历山大·格罗滕迪克.

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有序域

在数学的一个分支代数中,有序域是一个偏序关系通过加法和乘法运算不被改变的域。有序域最常见的例子是实数。.

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有序对

在数学中,有序对是两个对象的搜集,使得可以区分出其中一个是“第一个元素”而另一个是“第二个元素”(第一个元素和第二个元素也叫做左投影和右投影)。带有第一个元素a和第二个元素b的有序对通常写为(a, b)。 符号(a, b)也表示在实数轴上的开区间;在有歧义的场合可使用符号\langle a,b\rangle。.

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有理函數

有理函數是可以表示為以下形式的函數: 有理數式是多項式除法的商,有時稱為代數分數。.

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有理数

数学上,可以表达为两个整数比的数(a/b, b≠0)被定义为有理数,例如3/8,0.75(可被表达为3/4)。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是无理数,如\sqrt无法用整数比表示。 有理数与分數的区别,分數是一种表示比值的记法,如 分數\sqrt/2 是无理数。 所有有理数的集合表示为Q,Q+,或\mathbb。定义如下: 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。.

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有理數域

#重定向 有理数.

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无穷

無窮或無限,來自於拉丁文的「infinitas」,即「沒有邊界」的意思。其數學符號為∞。它在科學、神學、哲學、數學和日常生活中有著不同的概念。通常使用這個詞的時候並不涉及它的更加技術層面的定義。 在神學方面,根據書面記載無窮這個符號最早被用於某些秘密宗教,通常代表人類中的神性,而書寫此符號時兩圓的不對等代表人神間的差距,例如神學家邓斯·司各脱(Duns Scotus)的著作中,上帝的無限能量是運用在無約束上,而不是運用在無限量上。在哲學方面,無窮可以歸因於空間和時間。在神學和哲學兩方面,無窮又作為無限,很多文章都探討過無限、絕對、上帝和芝諾悖論等的問題。 在數學方面,無窮與下述的主題或概念相關:數學的極限、阿列夫數、集合論中的類、、羅素悖論、超實數、射影幾何、擴展的實數軸以及絕對無限。在一些主題或概念中,無窮被認為是一個超越邊界而增加的概念,而不是一個數。.

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数学

数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科,从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用,由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念,為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善,早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見,而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始,數學的發展便持續不斷地小幅進展,至16世紀的文藝復興時期,因为新的科學發現和數學革新兩者的交互,致使數學的加速发展,直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日,數學使用在不同的領域中,包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學,有時亦會激起新的數學發現,並導致全新學科的發展,例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學,就是數學本身的实质性內容,而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始,但其过程中也發現許多應用之处。.

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