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离散空间

指数 离散空间

在拓扑学和相关数学领域中,离散空间是特别简单的一种拓扑空间,在其中点都在特定意义下是相互孤立的。.

44 关系: 基 (拓撲學)单元素集合可數集同胚子集孤点实直线完备空间完全不连通空间密着拓扑布尔素理想定理三进制一致空间一致连续度量空间康托尔集开集利普希茨連續分离公理积空间空集第一可數空間第二可數空間紧空间無理數豪斯多夫空间连分数邻域自由對象連續函數 (拓撲學)选择公理极限点李群有限集合流形数学数学基础数学结构拓扑学拓扑空间拓扑群态射

勢可以指以下意涵的名詞:.

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基 (拓撲學)

在數學中,帶有拓撲 T 的拓撲空間 X 的基(base 或 basis) B 是 T 中開集的搜集,使得 T 中的所有開集可以被寫為 B 的元素的并集。我們稱基“生成”了拓撲 T。基是有用的因為拓撲的很多性質,可以被簡約為生成該拓撲的基的陳述,并且因為許多拓撲最容易依據生成它們的基來定義。.

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单元素集合

数学上,单元素集合是由唯一一个元素组成的集合。例如,集合 是个单元素集合。注意,集合诸如 也是单元素集合,唯一的元素是一个集合(这个集合可能本身不是单元素集合)。 一个集合是单元素集合,当且仅当它的势为1。在自然数的集合论定义中,数字 1 就是定义为单元素集合 。 在公理集合论中,单元素集合的存在性是空集公理和对集公理的结果:前者产生了空集 ,后者应用于对集 和 ,产生了单元素集合 。 若 A 是任意集合,S 是单元素集合,则存在唯一一个从 A 到 S的函数,该函数将所有 A 中的元素映射到 S 的单元素。 在范畴论中,单元素集合上构建的结构通常作为终对象或零对象:.

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可數集

在数学上,可数集,或称可列集、可数无穷集合,是与自然数集的某个子集具有相同基數(等势)的集合。在这个意义下不是可数集的集合称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素,正如其名,是“可以计数”的:尽管计数永远无法终止,集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。 “可数集”这个术语也可以代表能和自然数集本身一一对应的集合。例子参见两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集,而在后者中不算作可数集。 为了避免歧义,前一种意义上的可数有时称为至多可数,参见.

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同胚

在拓扑学中,同胚(homeomorphism、topological isomorphism、bi continuous function)是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构;也就是说,它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚,那么这两个空间就称为同胚的,从拓扑学的观点来看,两个空间是相同的。 大致地说,拓扑空间是一个几何物体,同胚就是把物体连续延展和弯曲,使其成为一个新的物体。因此,正方形和圆是同胚的,但球面和环面就不是。有一个笑话是说,拓扑学家不能区分咖啡杯和甜甜圈,这是因为一个足够柔软的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形状(见图)。.

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子集

子集,為某個集合中一部分的集合,故亦稱部分集合。 若A和B为集合,且A的所有元素都是B的元素,则有:.

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孤点

在拓扑学中,考虑集合X中的点x,如果x属于X的子集S,且在X中存在一个x的邻域,其中不包括S中的其他点,那么x叫做子集S的一个孤点或孤立点。 特别的,在欧几里得空间(或度量空间)中,考虑集合S及其中的一个点x,如果存在一个包含x的开球,其中不包含S中的其他点,那么x是S的孤点。等价的说,集合S中的一个点x是孤点,当且仅当x不是S的会聚点。 只由孤点构成的集合称为离散集合。欧几里得空间的离散子集都是可数的;但是一个可数集合不一定是离散的,比如有理数。参见离散空间。 没有孤点的闭集叫做完美集合(完备集)。 孤点的数目是拓扑不变的,就是说两个同胚的拓扑空间X和Y有相同数目的孤点。.

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实直线

實直線有如下含義,它們有互相可作補充的部分:.

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完备空间

完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间:空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。.

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完全不连通空间

在拓扑学和相关的数学分支中,完全不连通空间是没有非平凡连通子集的拓扑空间。在所有拓扑空间中空集和单点集合是连通的,而在完全不连通空间中它们是仅有的连通子集,在此意义上,完全不连通空间是极大不连通。 完全不连通空间的重要例子是康托尔集合。另一个例子是在代数数论中扮演关键角色的p进数的域 Qp。.

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密着拓扑

在拓扑学中,带有密着拓扑(trivial topology)的拓扑空间是其中仅有的开集是空集和整个空间的空间。这种空间有时叫做不可分空间(indiscrete space),它的拓扑有时叫做不可分拓扑。在直觉上,这有着所有点都被“粘着在一起”而通过拓扑方式不可区分的推论。.

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布尔素理想定理

素理想定理(prime ideal theorem)即保证在给定的抽象代数中特定类型之子集的存在性之數學定理。常见的例子就是布尔素理想定理(Boolean prime ideal theorem),它声称在布尔代数中的理想可以被扩展成素理想。这个陈述对于在集合上的滤子的变体叫做叫做超滤子引理。通过考虑不同的带有适当的理想概念的数学结构可获得其他定理,例如环和(环论的)素理想,和分配格和(序理论的)的极大理想。本文关注序理论的素理想定理。 尽管各种素理想定理可能看起来简单且直觉,它们一般不能从策梅洛-弗蘭克爾集合論(ZF)的公理推导出来。反而某些陈述等价于选择公理(AC),而其他的如布尔素理想定理,体现了严格弱于AC的性质。由于这个在ZF和ZF+AC (ZFC)之间的中介状态,布尔素理想定理经常被接受为集合论的公理。经常用缩写BPI(对布尔代数)或PIT提及这个额外公理。.

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三进制

#重定向 三進位.

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一致空间

在拓扑学這個數學領域裡,一致空间(uniform space)是指带有一致结构的集合。一致空间是一個拓撲空間,有可以用来定义如完备性、一致连续及一致收敛等一致性質的附加结构。 一致结构和拓扑结构之间的概念区别在於,一致空间可以形式化有关于相对邻近性及点间临近性等特定概念。换句话说,「x 邻近于a 胜过y 邻近于b」之類的概念,在一致空间中是有意义的。而相对的,在一般拓扑空间内,给定集合A 和B,有意义的概念只有:点x 能“任意邻近”A(亦即在A 的闭包內);或是和B相比,A 是x 的“較小邻域”,但点间邻近性和相对邻近性就不能只用拓扑结构來描述了。 一致空间广義化了度量空间和拓扑群,因此成為多数数学分析的根基。.

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一致连续

一致连续性描述定义在一定度量空间上的函数的性质。与连续性刻画函数在局部的性质不同,一致连续刻画的是函数的整体性质。一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续,则其在此度量空间上必然连续,但反之未必成立。直观上,一致连续可以理解为,当自变量x在足够小的范围内变动时,函数值y的变动也会被限制在足够小的范围内。.

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度量空间

在数学中,度量空间是个具有距離函數的集合,該距離函數定義集合內所有元素間之距離。此一距離函數被稱為集合上的度量。 度量空间中最符合人们对于现实直观理解的為三维欧几里得空间。事实上,“度量”的概念即是欧几里得距离四个周知的性质之推广。欧几里得度量定义了两点间之距离为连接這兩點的直线段之长度。此外,亦存在其他的度量空間,如橢圓幾何與雙曲幾何,而在球體上以角度量測之距離亦為一度量。狭义相對論使用雙曲幾何的雙曲面模型,作為速度之度量空間。 度量空间还能導出开集與闭集之類的拓扑性质,这导致了对更抽象的拓扑空间之研究。.

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康托尔集

在数学中,康托尔集,由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入(但由在1875年发现),是位于一条线段上的一些点的集合,具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合,康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合,但是最常见的构造是康托尔三分点集,由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造,作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。.

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开集

開集是指不包含任何自己邊界點的集合。或者說,開集包含的任意一點的充分小的鄰域都包含在其自身中。 例如,实数线上的由不等式2规定的集合称为开区间,是开集。这时候的边界为实数轴上的点2和5,如由不等式2\leq x \leq 5,或者2规定的区间由于包含其边界,因此不能称之为开集。 开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的,通常先公理化开集,然后通过其定义边界的概念。(详细请参照拓扑空间).

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利普希茨連續

在數學中,特別是實分析,利普希茨連續(Lipschitz continuity)以德國數學家魯道夫·利普希茨命名,是一個比通常連續更強的光滑性條件。直覺上,利普希茨連續函數限制了函數改變的速度,符合利普希茨條件的函數的斜率,必小於一個稱為利普希茨常數的實數(該常數依函數而定)。 在微分方程,利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續,稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。 利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上;利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。.

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分离公理

在拓扑学及相关的数学领域裡,通常对于所讨论的拓扑空间加有各种各样的限制条件,分离公理即是指之中的某些限制條件。这些分离公理有时候被叫做吉洪诺夫分离公理,得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪諾夫。部分分離公理以字母T開頭,是由德文单词“Trennung”而來,意義是分离。 分離公理之所以稱為公理,是因為以前定義拓撲空間時,有些人會將其也做為公理來定義,而得出較現在意思狹義的拓撲空間。但在拓撲空間的公理化完成後,那些都成了「各種」的拓撲空間。然而,「分離公理」這一詞就這樣固定了下來。.

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积空间

拓扑学和数学的相关领域中,积空间是指一族拓扑空间的笛卡儿积,并配备了一个称为积拓扑的自然的拓扑结构。.

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空集

集是不含任何元素的集合,數學符號為\empty、\varnothing或\。.

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第一可數空間

在拓撲學上,第一可數空間(First-countable space)是指有可數的邻域基的拓撲空間,即對於x \in X,存在x的開鄰域序列U_1,U_2,U_3,...

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第二可數空間

二可數空間是指有一個可數基的拓撲空間,我们也将“具备可數基”这一性质当作一条公理(第二可数性公理)放在第二可數空間的定义中(与“有限交,任意并”一同)。.

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紧空间

在数学中,如果欧几里得空间Rn的子集是闭合的并且是有界的,那么称它是--的。例如,在R中,闭合单位区间是紧致的,但整数集合Z不是(它不是有界的),半开区间.

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在數學中,群是由一個集合以及一個二元運算所組成的,符合下述四个性质(称为“群公理”)的代數結構。这四个性质是封闭性、結合律、單位元和对于集合中所有元素存在逆元素。 很多熟知的數學結構比如數系統都遵从群公理,例如整數配備上加法運算就形成一個群。如果将群公理的公式從具体的群和其運算中抽象出來,就使得人们可以用靈活的方式来處理起源于抽象代數或其他许多数学分支的實體,而同时保留對象的本質結構性质。 群在數學內外各個領域中是無處不在的,这使得它們成為當代數學的组成的中心原理。 群與對稱概念共有基礎根源。對稱群把幾何物體的如此描述物体的對稱特征:它是保持物體不變的變換的集合。這種對稱群,特別是連續李群,在很多學術學科中扮演重要角色。例如,矩陣群可以用來理解在狹義相對論底層的基本物理定律和在分子化學中的對稱現象。 群的概念引發自多項式方程的研究,由埃瓦里斯特·伽罗瓦在1830年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何学的貢獻之后,群概念在1870年左右形成并牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科,它以自己的方式研究群。為了探索群,數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分,比如子群、商群和單群。除了它們的抽象性質,群理論家還從理論和計算兩種角度來研究具體表示群的各種方式(群的表示)。對有限群已經發展出了特別豐富的理論,這在1983年完成的有限簡單群分類中達到頂峰。从1980年代中叶以来,将有限生成群作为几何对象来研究的几何群论,成为了群论中一个特别活跃的分支。.

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無理數

無理數是指除有理数以外的实数,當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis,意思是「理解」,实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译,是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。 非有理數之實數,不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點之後的數字有無限多個,並且不會循環,即无限不循环小数。常見的無理數有大部分的平方根、π和e(其中後兩者同時為超越數)等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。 傳說中,无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现。他以幾何方法證明\sqrt無法用整数及分數表示。而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示,不相信無理數的存在。後來希伯斯触犯学派章程,将无理数透露给外人,因而被扔进海中处死,其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。 無理數可以通過有理數的分划的概念進行定義。.

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豪斯多夫空间

在拓扑学和相关的数学分支中,豪斯多夫空间、分离空间或T2空间是其中的点都“由邻域分离”的拓扑空间。在众多可施加在拓扑空间上的分离公理中,“豪斯多夫条件”是最常使用和讨论的。它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一性。直观地讲,这个条件可用个双关语来形容:如果某空间中任两点可用开集合将彼此“豪斯多夫”开来,该空间就是“豪斯多夫”的。 豪斯多夫得名于拓扑学的创立者之一费利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓扑空间定义把豪斯多夫条件包括为公理。.

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连分数

在数学中,连分数或繁分数即如下表达式: 这里的a_0是某个整数,而所有其他的数a_n都是正整数,可依樣定义出更长的表达式。如果部分分子(partial numerator)和部分分母(partial denominator)允许假定任意的值,在某些上下文中可以包含函数,则最終的表达式是广义连分数。在需要把上述标准形式與广义连分数相區別的时候,可稱它為简单或正规连分数,或称为是规范形式的。.

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邻域

在集合论中,邻域指以点 a 为中心的任何开区间,记作:U(a)。 在拓扑学和相关的数学领域中,邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说,一个点的邻域是包含这个点的集合,並且該性質是外延的:你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。 这个概念密切关联于开集和内部的概念。.

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自由對象

在數學中,自由對象是抽象代數中的基本概念。就其通於各種代數結構(帶有限操作)而言,它也屬泛代數的一支,例子包括自由群、張量代數與自由格。在範疇論的框架下,可以將自由對象推廣為自由函子,這是遺忘函子的左伴隨函子。.

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連續函數 (拓撲學)

在拓撲學和數學的相關領域裡,連續函數是指在拓撲空間之間的一種態射。直觀上來說,其為一個函數f,其中每一群在f(x)附近的點都會含有在x附近的一群點之值。對一個一般的拓撲空間來說,這是指f(x)的鄰域總會包含著x之鄰域的值。 在一個度量空間(如實數)裡,這是指在f(x)一定距離內的點總會包含著在x某些距離內的所有點。.

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选择公理

选择公理(Axiom of Choice,縮寫AC)是数学中的一条集合论公理。这条公理声明,对所有非空指标集族 (S_i)_,总存在一个索引族 (x_i)_,对每一个 i \in I,均有 x_i \in S_i。选择公理最早于1904年,由恩斯特·策梅洛为证明良序定理而公式化完成。 非正式地說,选择公理声明:給定一些盒子(可以是無限個),每个盒子中都含有至少一个小球,那么可以作出这样一种选择,使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。在很多情况下这样的选择可不借助选择公理;尤其是在“盒子个数有限”和“存在具體的選擇規則”(當每個盒子都恰好只有一个小球具有某項特征)这两种情况下。再举一个例子,假设有许多(甚至是无限)双鞋子,则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择。然而,假设有无限双袜子(假设每双袜子都没有可区分的特征),在这种情况下,有效的选择只能通过选择公理得到。 尽管曾具有争议性,选择公理現在已被大多数数学家毫无保留地使用着,例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论(ZFC)。数学家们使用选择公理的原因是,有许多被普遍接受的数学定理,比如是吉洪诺夫定理,都需要选择公理来证明。現代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理,例如。 在一些構造性數學的理論中會避免选择公理的使用,不過也有的將选择公理包括在內。.

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极限点

在数学中,非正式的说在拓扑空间 X 中的一个集合 S 的极限点(limit point),就是可以被 S 中的点(不包含 x 本身)随意“逼近”的點。这个概念有益的推广了极限的概念,并且是諸如闭集和拓扑闭包等概念的基础。实际上,一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点,而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。 一个有关的概念是序列的聚集点(cluster point)或会聚点(accumulation point)。.

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李群

數學中,李群(Lie group,)是具有群结构的光滑微分流形,其群作用與微分结构相容。李群的名字源於索菲斯·李的姓氏,以其為連續變換群奠定基礎。1893年,法文名詞groupes de Lie首次出現在李的學生Arthur Tresse的論文第三頁中。.

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有限集合

数学中,一个集合被称为有限集合,簡單來說就是元素個數有限,嚴格而言則是指有一个自然数n使该集合与集合之间存在双射。例如 -15到3之间的整数组成的集合,这个集合有19个元素,它跟集合存在雙射,所以它是有限的。不是有限的集合称为无限集合。 也就是说如果一个集合的基数是自然数,那这个集合就是有限的。所有的有限集合都是可数的,但并不是所有的可数集都是有限的,例如所有素数的集合。 有一个定理(戴德金定理)是:一个集合是有限的当且仅当不存在一个该集合与它的任何一个真子集之间的双射。 I I.

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流形

流形(Manifolds),是局部具有欧几里得空间性质的空间,是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。 流形在数学中用于描述几何形体,它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理上,经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。位形空间中也可以定义流形。环面就是双摆的位形空间。 一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的,因为所有变形(同胚)会保持拓扑结构不变;而把解析几何结构看作是“硬”的,因为整体的结构都是固定的。例如一个多项式,如果你知道 (0,1) 区间的取值,则整个实数范围的值都是固定的,所以局部的变动会导致全局的变化。光滑流形可以看作是介于两者之间的模型:其无穷小的结构是“硬”的,而整体结构则是“柔软”的。这也许是中文译名“流形”的原因(整体的形态可以流动)。该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样,流形的硬度使它能够容纳微分结构,而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。.

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数学

数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科,从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用,由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念,為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善,早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見,而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始,數學的發展便持續不斷地小幅進展,至16世紀的文藝復興時期,因为新的科學發現和數學革新兩者的交互,致使數學的加速发展,直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日,數學使用在不同的領域中,包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學,有時亦會激起新的數學發現,並導致全新學科的發展,例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學,就是數學本身的实质性內容,而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始,但其过程中也發現許多應用之处。.

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数学基础

数学上,数学基础一词有时候用于数学的特定领域,例如数理逻辑,公理化集合论,证明论,模型论,和递归论。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题:在什么终极基础上命题可以称为真? 目前占统治地位的数学范式是基于公理化集合论和形式逻辑的。實際上,幾乎所有现在的数学定理都可以表述為集合论下的定理。在这个观点下,所謂数学命题的真实性,不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。 这个形式化的方法不能解释一些问题:为什么我们應沿用现行的公理而不是別的,为什么我们應沿用现行的逻辑规则而不是別的,为什么"真"数学命题(例如,算術領域的皮亚诺公理)在物理世界中似乎是真的。这被尤金·维格纳在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”(The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences)。 上述的形式化真实性也可能完全没有意义:有可能所有命题,包括自相矛盾的命题,都可以从集合论公理导出。而且,作为歌德尔第二不完备定理的一个结果,我们永远無法排除這種可能性。 在數學實在論(有时也叫柏拉图主义)中,独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设;这些对象的真实性由人类发现。在这种观点下,自然定律和数学定律有類似的地位,因此"有效性"不再"无理由"。不是我们的公理,而是数学对象的真实世界构成了數學基础。但,显然的问题在于,我们如何接触这个世界? 一些数学哲学的现代理论不承认這種數學基础的存在性。有些理论倾向于專注,並試圖把数学家的实際工作視為一種社會群體來作描述和分析。也有理論试图创造一个,把数学在"现实世界"中的可靠性歸結為人類的認知。这些理论建议只在人类的思考中找到基础,.

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数学结构

在数学中,一个集合上的结构,或者更一般的讲类型,是由附加在该集合上的数学对象所组成,它们使得这个集合更易操作或赋予它们特殊的意义。 常见的结构包括测度,代数结构,拓扑,度量结构(几何),序,和等价关系等等。 有时候,一个集合同时有几种结构;这使得可研究的属性更丰富。例如,序可以导出一种拓扑。又如,如果一个集合有个拓扑并是一个群,而且这两个结构满足一定关系,则该集合成为一个拓扑群。.

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拓扑学

在數學裡,拓撲學(topology),或意譯為位相幾何學,是一門研究拓撲空間的學科,主要研究空間內,在連續變化(如拉伸或彎曲,但不包括撕開或黏合)下維持不變的性質。在拓撲學裡,重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。 拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科,研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茲,他在17世紀提出「位置的幾何學」(geometria situs)和「位相分析」(analysis situs)的說法。莱昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。「拓撲學」一詞由利斯廷於19世紀提出,雖然直到20世紀初,拓撲空間的概念才開始發展起來。到了20世紀中葉,拓撲學已成為數學的一大分支。 拓撲學有許多子領域:.

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拓扑空间

拓扑空间是一种数学结构,可以在上頭形式化地定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用,是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值,研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。.

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拓扑群

在數學中,拓撲群是群 G 和與之一起的 G 上的拓撲,使得這個群的二元運算和這個群的取逆函數是連續的。拓撲群允許依據連續群作用來研究連續對稱的概念。.

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态射

数学上,态射(morphism)是两个数学结构之间保持结构的一种过程抽象。 最常见的这种过程的例子是在某种意义上保持结构的函数或映射。例如,在集合论中,态射就是函数;在群论中,它们是群同态;而在拓扑学中,它们是连续函数;在泛代数(universal algebra)的范围,态射通常就是同态。 对态射和它们定义于其间的结构(或对象)的抽象研究构成了范畴论的一部分。在范畴论中,态射不必是函数,而通常被视为两个对象(不必是集合)间的箭头。不像映射一个集合的元素到另外一个集合,它们只是表示域(domain)和陪域(codomain)间的某种关系。 尽管态射的本质是抽象的,多数人关于它们的直观(事实上包括大部分术语)来自于具体范畴的例子,在那里对象就是有附加结构的集合而态射就是保持这种结构的函数。.

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