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15 关系: 向量空间，希尔伯特空间，保罗·狄拉克，内积，内积空间，內積，公理，共轭复数，矩阵，複數，角動量圖，量子力学，量子態，泛函，態向量。
向量空间
向量空間是现代数学中的一个基本概念。是線性代數研究的基本对象。 向量空间的一个直观模型是向量几何，幾何上的向量及相关的運算即向量加法，標量乘法，以及对運算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空間”这个數學概念的直观形象。 在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。.
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希尔伯特空间
在数学裡，希尔伯特空间即完备的内积空间，也就是說一個帶有內積的完備向量空間。是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不局限于實數的情形和有限的维数，但又不失完备性（而不像一般的非欧几里得空间那样破坏了完备性）。与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引申而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西序列會收敛到此空間裡的一點，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公設化数学和量子力学的关键性概念之一。.
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保罗·狄拉克
保羅·埃德里安·莫里斯·狄拉克，OM，FRS（Paul Adrien Maurice Dirac，），英国理論物理學家，量子力學的奠基者之一，曾經主持劍橋大學的盧卡斯數學教授席位，並在佛羅里達州立大學度過他人生的最後十四個年頭。 狄拉克在物理學上有諸多開創性的貢獻。他統合了維爾納·海森堡的矩陣力學和埃爾溫·薛定谔的波動力學，發展出了量子力學的基本數學架構。他給出的狄拉克方程式可以描述费米子的物理行為，解釋了粒子的自旋，並且首先預測了反粒子的存在。而他在路徑積分和二次量子化也扮演了的先驅者的角色，為後來量子電動力學的發展奠定了重要的基礎。此外，他將拓扑的概念引入物理學，提出了磁單極的理論。 1933年，因為“發現了在原子理論裡很有用的新形式”（即量子力学的基本方程——薛定谔方程和狄拉克方程），狄拉克和薛丁格共同获得了诺贝尔物理学奖，是當時史上最年輕獲獎的理論物理學家。.
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内积
#重定向 点积.
内积空间
内积空间是数学中的线性代数裡的基本概念，是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。内积将一对向量与一个标量连接起来，允许我们严格地谈论向量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论向量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。 内积空间有时也叫做准希尔伯特空间（pre-Hilbert space），因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。 在早期的著作中，内积空间被称作--空间，但这个词现在已经被淘汰了。在将内积空间称为--空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数或不可数）的欧几里德空间。.
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內積
#重定向 点积.
公理
在傳統邏輯中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關係毕竟不能無限地追溯，而需停止於無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如「a+b.
共轭复数
在數學中，複數的複共軛（常簡稱共軛）是對虛部變號的運算，因此一個複數 的複共軛是 舉例明之： 在複數的極坐標表法下，複共軛寫成 這點可以透過歐拉公式驗證 將複數理解為複平面，則複共軛無非是對實軸的反射。複數z的複共軛有時也表為z^*。.
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矩阵
數學上，一個的矩陣是一个由--（row）--（column）元素排列成的矩形阵列。矩陣--的元素可以是数字、符号或数学式。以下是一个由6个数字元素构成的2--3--的矩阵： 大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵的乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的--数等于第二个矩阵的--数。矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。 矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如.
複數
#重定向 复数 (数学).
角動量圖
出現在量子力學以及其應用如多體問題、量子化學等領域中，角動量圖是一種圖形表示法，用以代表一量子系統的角動量量子態，使得相關計算能以符號形式推演。此方法的箭號將角動量態與狄拉克符號連結。 此方法是由立陶宛物理學家於20世紀發明。在量子力學以及量子場論領域中，形似的符號表示法尚有費曼圖與潘洛斯圖形符號。這些圖樣包含有箭頭與頂點，有些還有量子數的標記。.
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量子力学
量子力学（quantum mechanics）是物理學的分支，主要描写微观的事物，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学，如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的學科，都是以其为基础。 19世紀末，人們發現舊有的經典理論無法解釋微观系统，於是經由物理學家的努力，在20世紀初創立量子力学，解釋了這些現象。量子力學從根本上改變人類對物質結構及其相互作用的理解。除透过广义相对论描写的引力外，迄今所有基本相互作用均可以在量子力学的框架内描述（量子场论）。 愛因斯坦可能是在科學文獻中最先給出術語「量子力學」的物理學者。.
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量子態
在量子力學裏，量子態（quantum state）指的是量子系統的狀態。態向量可以用來抽像地表示量子態。採用狄拉克標記，態向量表示為右矢|\psi\rangle；其中，在符號內部的希臘字母\psi可以是任何符號，字母，數字，或單字。例如，在計算氫原子能譜時，能級與主量子數n有關，所以，每個量子態的態向量可以表示為|n \rangle。 一般而言，量子態可以是純態或混合態。上述案例是純態。混合態是由很多純態組成的機率混合。不同的組合可能會組成同樣的混合態。當量子態是混合態時，可以用密度矩陣做數學描述，這密度矩陣實際給出的是機率，不是密度。純態也可以用密度矩陣表示。 哥本哈根詮釋以操作定義的方法對量子態做定義：量子態可以從一系列製備程序來辨認，即這程序所製成的量子系統擁有這量子態。例如，使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器，如右圖所示，可以將入射的銀原子束，依照自旋的z-分量S_z分裂成兩道，一道的S_z為上旋，量子態為|\uparrow\rangle或|z+\rangle，另一道的S_z為下旋，量子態為|\downarrow\rangle或|z-\rangle，這樣，可以製備成量子態為|\uparrow\rangle的銀原子束，或量子態為|\downarrow\rangle的銀原子束。銀原子自旋態向量存在於二維希爾伯特空間。對於這純態案例，相關的態向量|\psi\rangle.
泛函
传统上，泛函（functional）通常是指一種定義域為函數，而值域为实数的「函數」。换句话说，就是从函数组成的一个向量空间到实数的一个映射。也就是说它的输入为函数，而输出为实数。泛函的应用可以追溯到变分法，那里通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。 在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。 设S\ 是由一些函数構成的集合。所谓S\ 上的泛函就是S\ 上的一个实值函数。S\ 称为该泛函的容许函数集。 函数的变换某种程度上是更一般的概念，参见算子。.
態向量
在量子力學裏，一個量子系統的量子態可以抽象地用態向量來表示。態向量存在於內積空間。定義內積空間為增添了一個額外的內積結構的向量空間。態向量滿足向量空間所有的公理。態向量是一種特殊的向量，它也允許內積的運算。態向量的範度是1，是一個單位向量。標記量子態\psi\,\!的態向量為|\psi\rangle\,\!。 每一個內積空間都有單範正交基。態向量是單範正交基的所有基向量的線性組合： 其中，|e_1\rangle,\,|e_2\rangle,\,\dots,\,|e_n\rangle\,\!是單範正交基的基向量，n\,\!是單範正交基的基數，c_1,\,c_2,\,\dots,\,c_n\,\!是複值的係數，是|\psi\rangle\,\!的分量，c_i\,\!是|\psi\rangle\,\!投射於基向量|e_i\rangle\,\!的分量，也是|\psi\rangle\,\!處於|e_i\rangle\,\!的機率幅。 換一種方法表達： \end\,\!。 在狄拉克標記方法裏，態向量|\psi\rangle\,\!稱為右矢。對應的左矢為\langle\psi|\,\!，是右矢的厄米共軛，用方程式表達為 其中，\dagger\,\!象徵為取厄米共軛。 設定兩個態向量|\alpha\rangle.
