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点积

指数 点积

在数学中,点积(Skalarprodukt、Dot Product)又称--或标量积(Skalarprodukt、Scalar Product),是一种接受两个等长的数字序列(通常是坐标向量)、返回单个数字的代数运算。在欧几里得几何中,两个笛卡尔坐标向量的点积常称为內積(inneres Produkt、Inner Product),见内积空间。 从代数角度看,先对两个数字序列中的每组对应元素求积,再对所有积求和,结果即为点积。从几何角度看,点积则是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。这两种定义在笛卡尔坐标系中等价。 点积的名称源自表示点乘运算的点号(a·b),标量积的叫法则是在强调其运算结果为标量而非向量。向量的另一种乘法是叉乘(a×b),其结果为向量,称为叉积或向量积。 點积是--的一种特殊形式。.

46 关系: 力学单位向量双线性映射叉积向量向量积向量空间坐標系外代数定义良好交換律人工神经网络人工智能代数位移当且仅当分配律内乘内积空间勾股定理笛卡尔坐标系结合律物理学行向量行向量與列向量行列式餘弦餘弦定理角度计算机图形学转置矩阵运算范数间隔号标量标量乘法欧几里得几何欧几里得空间正交求和符号淨力数学

功(work),也叫机械功,是物理学中表示力对位移的累积的物理量,指从一种物理系统到另一种物理系统的能量转变,尤其是指通过使物体朝向力的方向移动的力的作用下能量的转移。与机械能相似的是,功也是标量,国际单位制单位为焦耳。 “功”一词最初是法国数学家贾斯帕-古斯塔夫·科里奥利创造的。 由动能定理,若一个外力作用于一物体使之动能从Ek0增至Ek,那么,此力所作的机械功为: 其中m是物体的质量,v是物体的速度。 机械功就是力与位移的內積: 若力与位移的夹角小于直角,则机械功为正,亦称为力作正功。若力与位移的夹角大于直角,则机械功为负,或力作负功,或物体克服力作功。 若力的方向与位移方向垂直,则此力不作功: 舉例來說:一個10牛頓(F.

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在物理學中,力是任何導致自由物體歷經速度、方向或外型的變化的影響。力也可以藉由直覺的概念來描述,例如推力或拉力,這可以導致一個有質量的物體改變速度(包括從靜止狀態開始運動)或改变其方向。一個力包括大小和方向,這使力是一個向量。牛頓第二定律,\mathbf.

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力学

力学是物理学的一个分支,主要研究能量和力以及它们与物体的平衡、变形或运动的关系。.

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单位向量

数学上,赋范向量空间中的单位向量就是长度为1的向量。单位向量的符号通常有个“帽子”,如:\mathbf。欧几里得空间中,两个单位向量的点积就是它们之间角度的余弦(因为它们的长度都是1)。 一个非零向量\mathbf的正规化向量\mathbf就是平行于\mathbf的单位向量: 这里\|\mathbf\|是\mathbf的范数(长度)。正规化向量有时候也可以当作单位向量的同义词。一组基的元素通常被选为单位向量。在三维直角坐标系中,通常是\mathbf, \mathbf, \mathbf,分别为沿着x, y, z方向的单位向量: 在其他坐标系中,如极坐标系、球坐标系,使用不同的单位向量,符号也会不一样。.

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双线性映射

在数论中,一个双线性映射是由两个向量空间上的元素,生成第三个向量空间上一个元素之函数,并且该函数对每个参数都是线性的。例如矩阵乘法就是一个例子。.

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叉积

在数学和向量代数领域,叉積(Cross product)又称向量积(Vector product),是对三维空间中的两个向量的二元运算,使用符号 \times。与点积不同,它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量 \mathbf 和 \mathbf,它们的叉积写作 \mathbf \times \mathbf,是 \mathbf 和 \mathbf 所在平面的法线向量,与 \mathbf 和 \mathbf 都垂直。叉积被广泛运用于数学、物理、工程学、计算机科学领域。 如果两个向量方向相同或相反(即它们非线性无关),亦或任意一个的长度为零,那么它们的叉积为零。推广开来,叉积的模长和以这两个向量为边的平行四边形的面积相等;如果两个向量成直角,它们叉积的模长即为两者长度的乘积。 叉积和点积一样依赖于欧几里德空间的度量,但与点积之不同的是,叉积还依赖于定向或右手定則。.

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向量

向量(vector,物理、工程等也称作--)是数学、物理学和工程科学等多个自然科學中的基本概念,指一个同时具有大小和方向,且满足平行四边形法则的几何對象。一般地,同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量(特别地,电流属既有大小、又有正负方向的量,但由于其运算不满足平行四边形法则,公认为其不属于向量)。向量常常在以符号加箭头标示以区别于其它量。与向量相对的概念称标量或数量,即只有大小、绝大多数情况下没有方向(电流是特例)、不满足平行四边形法则的量。.

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向量积

#重定向 叉积.

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向量空间

向量空間是现代数学中的一个基本概念。是線性代數研究的基本对象。 向量空间的一个直观模型是向量几何,幾何上的向量及相关的運算即向量加法,標量乘法,以及对運算的一些限制如封闭性,结合律,已大致地描述了“向量空間”这个數學概念的直观形象。 在现代数学中,“向量”的概念不仅限于此,满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如,實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。.

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坐標系

坐標系是數學或物理學用語,定義如下: 对于一个n维系统,能够使每一个点和一组(n个)标量构成一一对应的系统。 坐標系可以用一個有序多元组表示一個點的位置。一般常用的坐標系,各維坐標的數字均為實數,但在高等數學中坐標的數字可能是複數,甚至是或是其他抽象代數中的元素(如交换环)。坐標系可以使幾何學的問題轉換為數字的問題,反之亦然,是解析幾何學的基礎。 描述地理位置時所用的經度及緯度就是坐標系統的一種。在物理學中,描述一系統在空間中運動的參考坐標系統則稱作參考系。.

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外代数

外代数(Exterior algebra)也稱為格拉斯曼代数(Grassmann algebra),以紀念赫爾曼·格拉斯曼。 数学上,给定向量空间V的外代數,是特定有单位的结合代数,其包含了V为其中一个子空间。它记为 Λ(V) 或 Λ•(V)而它的乘法,称为楔积或外积,记为∧。楔积是结合的和双线性的;其基本性質是它在V上交錯的,也就是: 这表示 注意这三个性质只对 V 中向量成立,不是对代数Λ(V)中所有向量成立。 外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。Λ(V)的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示,请参看下文。 形式为v1∧v2∧…∧vk的元素,其中v1,…,vk在V中,称为k-向量。所有k-向量生成的Λ(V)的子空间称为V的k-阶外幂,记为Λk(V)。外代数可以写作每个k阶幂的直和: 该外积有一个重要性质,就是k-向量和l-向量的积是一个k+l-向量。这样外代数成为一个分次代数,其中分级由k给出。这些k-向量有几何上的解释:2-向量u∧v代表以u和v为边的带方向的平行四边形,而3-向量u∧v∧w代表带方向的平行六面体,其边为u, v, 和w。 外幂的主要应用在于微分几何,其中他们用来定义微分形式。因而,微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。.

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定义良好

在数学裡,术语定义良好(定义良好的 well-defined,名词 well-definition)用于确认用一组基本公理以数学或逻辑的方式定义的某个概念或对象(一个函数,性质,关系,等等)是完全无歧义的,满足它必需满足的那些性质。通常定义是无歧义地表述,明白地满足它们所需的性质。但有时候,使用任意选择的方式来陈述定义是经济的,这时我们便要验证定义与选择无关。另一种情形,所需的性质可能不都是显然的,这时要验证它们。这些问题通常来自函数的定义。 譬如,在群论中,术语“定义良好”经常用于处理陪集时,陪集空间上的函数经常选取一个代表来定义:这时非常重要的是验证无论选取陪集的哪个代表,就像算术运算一样(比如,2加3总是5)我们总得到同样的结果。 f(x_).

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交換律

交換律(Commutative property)是被普遍使用的一個數學名詞,意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質,而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在,且沒有給定其一特定的名稱,直到19世紀,數學家開始形式化數學理論之後,交換律才被聲明。.

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人工神经网络

人工神经网络(Artificial Neural Network,ANN),简称神经网络(Neural Network,NN)或類神經網絡,在机器学习和认知科学领域,是一种模仿生物神经网络(动物的中樞神經系統,特别是大脑)的结构和功能的数学模型或计算模型,用于对函数进行估计或近似。神经网络由大量的人工神经元联结进行计算。大多数情况下人工神经网络能在外界信息的基础上改变内部结构,是一种自适应系统,通俗的講就是具備學習功能。现代神经网络是一种非线性统计性数据建模工具。典型的神经网络具有以下三个部分:.

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人工智能

人工智能(Artificial Intelligence, AI)亦稱機器智能,是指由人製造出來的機器所表現出來的智能。通常人工智能是指通過普通電腦程式的手段實現的人類智能技術。該詞也指出研究這樣的智能系統是否能夠實現,以及如何實現科學領域。同時如此,人類的數量開始收斂及功能逐漸被其取代。 一般教材中的定义领域是“智能主体(intelligent agent)的研究与设计”,智能主体是指一个可以观察周遭环境并作出行动以达致目标的系统。约翰·麦卡锡于1955年的定义是「制造智能机器的科学与工程。」 人工智能的研究是高度技术性和专业的,各分支领域都是深入且各不相通的,因而涉及範圍極廣。人工智能的研究可以分为几个技术问题。其分支领域主要集中在解决具体问题,其中之一是,如何使用各种不同的工具完成特定的应用程序。 AI的核心问题包括建構能夠跟人類似甚至超越的推理、知识、规划、学习、交流、感知、移动和操作物体的能力等。強人工智能目前仍然是该领域的长远目标。目前強人工智慧已經有初步成果,甚至在一些影像辨識、語言分析、棋類遊戲等等單方面的能力達到了超越人類的水平,而且人工智慧的通用性代表著,能解決上述的問題的是一樣的AI程式,無須重新開發算法就可以直接使用現有的AI完成任務,與人類的處理能力相同,但達到具備思考能力的統合強人工智慧還需要時間研究,比较流行的方法包括统计方法,计算智能和传统意义的AI。目前有大量的工具应用了人工智能,其中包括搜索和数学优化、逻辑推演。而基於仿生學、認知心理學,以及基于概率论和经济学的演算法等等也在逐步探索當中。.

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代数

代数是一个较为基础的数学分支。它的研究对象有许多。诸如数、数量、代数式、關係、方程理论、代数结构等等都是代数学的研究对象。 初等代数一般在中學時讲授,介紹代数的基本思想:研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么,以及了解變數的概念和如何建立多项式并找出它们的根。 代数的研究對象不僅是數字,还有各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質,而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、环、域、模、線性空間等。并且,代数是几何的总称,代数是还可以用任何字母代替的。 e.g.2-4+6-8+10-12+…-96+98-100+102.

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位移

在物理學裏,位移是位置的改變。假設從舊位置\mathbf\,\!改變到新位置\mathbf\,\!,則位移是\Delta\mathbf.

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当且仅当

当且仅当(If and only if)(中国大陆又称作当且--仅当,臺灣又称作若且--唯若),在--邏輯中,逻辑算符反互斥或閘(exclusive or)是对两个运算元的一种邏輯分析类型,符号为XNOR或ENOR或\Leftrightarrow。与一般的邏輯或非NOR不同,當兩兩數值相同為是,而數值不同時為否。在数学、哲学、逻辑学以及其他一些技术性领域中被用来表示“在,并且仅仅在这些条件成立的时候”之意,在英语中的对应标记为iff。“A当且仅当B”其他等价的说法有“当且仅当A則B”;“A是B的充分必要条件(充要條件)”。 一般而言,當我們看到“A当且仅当B”,我們可以知道“如果A成立時,則B一定成立;如果B成立時,則A也一定成立”;“如果A不成立時,則B一定不成立;如果B不成立時,則A也一定不成立”。.

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分配律

在抽象代数中,分配律是二元运算的一个性质,它是基本代数中的分配律的推广。.

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内乘

在数学中,内乘(interior product,或译内积)是光滑流形上的微分形式外代数上一个次数为 −1 导子,定义为微分形式与一个向量场的缩并。从而如果 X 是流形 M 上一个向量场,那么 是将一个 p-形式 ω 映为 (p−1)-形式 iXω,由性质 所定义,对任何向量场 X1,..., Xp−1。本质上来说,内乘可以定义在向量空间与外代数上,即只与流形的一点有关。 内乘也称为内乘法(interior 或 inner multiplication),或内导数(inner derivative 或 derivation)。 一些作者使用字母 i 代替 \iota;内乘有时也写成 \iota(X) 或者 X \lrcorner \omega.

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内积空间

内积空间是数学中的线性代数裡的基本概念,是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。内积将一对向量与一个标量连接起来,允许我们严格地谈论向量的“夹角”和“长度”,并进一步谈论向量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来(内积是点积的抽象),这是泛函分析讨论的课题。 内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert space),因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。 在早期的著作中,内积空间被称作--空间,但这个词现在已经被淘汰了。在将内积空间称为--空间的著作中,“内积空间”常指任意维(可数或不可数)的欧几里德空间。.

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勾股定理

氏定理(Pythagorean theorem)(希腊语:Πυθαγόρειο θεώρημα)又称商高定理、畢達哥拉斯定理、--、百牛定理,是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明,平面上的直角三角形的两条直角边的长度(古称勾长、股长)的平方和等于斜边长(古称弦长)的平方。反之,若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方,则它是直角三角形(直角所对的边是第三边)。 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。 据《周髀算經》中记述,公元前一千多年周公与商高论数的对话中,商高就以三四五3个特定数为例详细解释了勾股定理要素,其一,“以为句广三,股修四,径隅五”。其二,“既方其外,半之一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”首先肯定一个底宽为三,高为四的直角三角形,弦长必定是五。最重要的是紧接着论证了弦长平方必定是两直角边的平方和,确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。其判定方法后世不明其法而被忽略。 此外,《周髀算经》中明确记载了周公后人陈子叙述的勾股定理公式:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日”。 赵爽在《周髀算經注》中将勾股定理表述为“勾股各自乘,并之,为弦实。开方除之,即弦”。 古埃及在公元前2600年的纸莎草就有(3,4,5)这一组勾股数,而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是(12709,13500,18541)。 有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理,但驴桥定理就是等邊對等角,是指等腰三角形的二底角相等,非勾股定理。.

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积是数学中多个不同概念的称呼。算术中,两个数或多个数相乘得到的结果称为它们的积或乘积。当相乘的数是实数或复数的时候,相乘的顺序对积没有影响,这称为交换性。当相乘的是四元数或者矩阵,或者某些代数结构里的元素的时候,顺序会对作为结果的乘积造成影响。这说明这些对象的乘法没有交换性。 当相乘的对象多于两个的时候,常常使用连乘号∏(大写的)表示。就如同多个对象的加法使用∑作为符号一样。一般约定,相乘的对象只有一个的时候,乘积是对象本身;没有相乘的对象时也可以约定所谓的“空积”为1。.

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笛卡尔坐标系

在數學裏,笛卡兒坐標系(Cartesian coordinate system),也稱直角坐標系,是一種正交坐標系。參閱圖1,二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、相交於原點的數線構成的。在平面內,任何一點的坐標是根據數軸上對應的點的座標設定的。在平面內,任何一點與坐標的對應關係,類似於數軸上點與坐標的對應關係。 採用直角坐標,幾何形狀可以用代數公式明確的表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守這代數公式。例如:直線可以標準式ax+by+c.

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结合律

在數學中,結合律(associative laws)是二元運算可以有的一個性質,意指在一個包含有二個以上的可結合運算子的表示式,只要運算元的位置沒有改變,其運算的順序就不會對運算出來的值有影響。亦即,重新排列表示式中的括號並不會改變其值。例如: 上式中的括號雖然重新排列了,但表示式的值依然不變。當這在任何實數的加法上都成立時,我們說「實數的加法是一個可結合的運算」。 結合律不應該和交換律相混淆。交換律會改變表示式中運算元的位置,而結合律則不會。例如: 是一個結合律的例子,因為其中的括號改變了(且因此運算子在運算中的順序也改變了),而運算元5、2、1則在原來的位置中。再來, 則不是一個結合律的例子,因為運算元2和5的位置互換了。 可結合的運算在數學中是很常見的,且事實上,大多數的代數結構確實會需要它們的二元運算是可結合的。不過,也有許多重要且有趣的運算是不可結合的;其中一個簡單的例子為向量積。.

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物理学

物理學(希臘文Φύσις,自然)是研究物質、能量的本質與性質,以及它們彼此之間交互作用的自然科學。由於物質與能量是所有科學研究的必須涉及的基本要素,所以物理學是自然科學中最基礎的學科之一。物理學是一種實驗科學,物理學者從觀測與分析大自然的各種基於物質與能量的現象來找出其中的模式。這些模式(假說)稱為「物理理論」,經得起實驗檢驗的常用物理理論稱為物理定律,直到有一天被證明是有錯誤為止(具可否證性)。物理學是由這些定律精緻地建構而成。物理學是自然科學中最基礎的學科之一。化學、生物學、考古學等等科學學術領域的理論都是建構於這些物理定律。 物理學是最古老的學術之一。物理學、化學、生物學等等原本都歸屬於自然哲學的範疇,直到十七世紀至十九世紀期間,才漸漸地從自然哲學中分別成長為獨立的學術領域。物理學與其它很多跨領域研究有相當的交集,如量子化學、生物物理學等等。物理學的疆界並不是固定不變的,物理學裡的創始突破時常可以用來解釋這些跨領域研究的基礎機制,有時還會開啟嶄新的跨領域研究。 通過創建新理論與發展新科技,物理學對於人類文明有極為顯著的貢獻。例如,由於電磁學的快速發展,電燈、電動機、家用電器等新產品纷纷涌现,人類社會的生活水平也得到大幅提升。由於核子物理學日趨成熟,核能發電已不再是藍圖構想,但其所引致的安全問題也使人們意識到地球環境、生態與人類的脆弱渺小。.

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行向量

#重定向 行向量與列向量.

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行向量與列向量

在 线性代数中,列向量 / 排矩阵 是一个 m × 1 矩阵,m 為任意正整數,例如: 此外,行向量 / 行矩阵 是一个 1 × m 矩阵,m為任意正整數,例如: 黑体字 \mathbf 用于表示行向量或列向量。 行向量的转置(以T表示)是列向量: 而列向量的转置就是行向量: 集合所有的行矢量的 向量空间 称为行空间。同样地,集合所有列矢量的向量空间称为列空间。行列空间的尺寸等的条目数量的行中的或列的矢量。 列空間可以看作是行空間的雙重空間,因為列向量空間上的任何線性函數都可以唯一地表示為具有特定行向量的內積。.

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行列式

行列式(Determinant)是数学中的一個函數,将一个n \times n的矩陣A映射到一個純量,记作\det(A)或|A|。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说,在n 维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现线性自同态和向量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个交替多线性形式,这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。.

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餘弦

余弦是三角函数的一种。它的定义域是整个实数集,值域是。它是周期函数,其最小正周期为2π。在自变量为2nπ(n为整数)时,该函数有极大值1;在自变量为(2n+1)π时,该函数有极小值-1。余弦函数是偶函数,其图像关于y轴对称。.

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餘弦定理

余弦定理是三角形中三邊長度與一個角的余弦值(cos)的數學式,參考右圖,余弦定理指的是: 同樣,也可以將其改為: 其中c是\gamma角的對邊,而a和b是\gamma角的鄰邊。 勾股定理則是余弦定理的特殊情況,當\gamma為90^\circ時,\cos(\gamma).

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角度

#重定向 度 (角).

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计算机图形学

计算机图形学(computer graphics,縮寫为CG)是研究计算机在硬件和软件的帮助下创建计算机图形的科学学科,是计算机科学的一個分支領域,主要關注數位合成與操作視覺的圖形內容。雖然這個詞通常被認為是指三維圖形,事實上同時包括了二維圖形以及影像處理。.

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转置矩阵

在线性代数中,矩阵A的转置是另一个矩阵AT(也写做Atr, tA或A′)由下列等价动作建立.

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运算

数学上,运算(Operation)是一种行为,通过已知量的可能的组合,获得新的量。例如,算术中的加法6+3.

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范数

數(norm),是具有“长度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域,是一個函數,其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。半範數反而可以為非零的向量賦予零長度。 舉一個簡單的例子,一個二維度的歐氏幾何空間\R^2就有歐氏範數。在這個向量空間的元素(譬如:(3,7))常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。 擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣,擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。.

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间隔号

-- 间隔号(“·”、“‧”)是一種標點符號,用于某些非汉族人名内部或书目当中。間隔號由音界號(又叫分读号)演變而來;除了原有音界號的功用外,還加入了間隔書名與篇章的新功用。 間隔號用於:.

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标量

--(Scalar),又称--,是只有大小,没有方向,可用實數表示的一個量,實際上純量就是實數,純量這個稱法只是為了區別與向量的差別。标量可以是負數,例如溫度低於冰點。与之相对,向量(又称--)既有大小,又有方向。 在物理学中,标量是在坐标变换下保持不变的物理量。例如,欧几里得空间中两点间的距离在坐标变换下保持不变,相对论四维时空中在坐标变换下保持不变。与此相对的矢量,其分量在不同的坐标系中有不同的值,例如速度。标量可被用作定义向量空间。.

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标量乘法

标量乘法(scalar multiplication)是線性代數中向量空間的一種基本運算(更廣義的,是抽象代數的一個模))。在直覺上,將一個實數向量和一個正的實數進行标量乘法,也就是將其長度乘以此标量,方向不變。标量一詞也從此用法而來:可將向量缩放的量。标量乘法是將標量和向量相乘,結果得到一向量,和內積將兩向量相乘,得到一純量不同。.

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在數學的抽象代數中,環上的模 (module over a ring)的概念是對向量空間概念的推廣,這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體(field),進而放寬純量可以是環(ring)。 因此,模同向量空間一樣是加法交换群;在環元素和模元素之間定義了乘積運算,并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的(在同環中的乘法一起用的時候)和分配律的。 模非常密切的關聯於群的表示理論。它們還是交換代數和同調代數的中心概念,并廣泛的用于代數幾何和代數拓撲中。.

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欧几里得几何

欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。 欧几里得几何有时就指二维平面上的几何,即平面几何,本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何,高维的情形请参看欧几里得空间。 数学上,欧几里得几何是指二维平面和三维空间中的几何,基于。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。 其中公設五又稱之為平行公設(Parallel Axiom),敘述比較複雜,這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在高斯(F., 1777年—1855年)的時代,公設五就備受質疑,俄羅斯數學家羅巴切夫斯基(Nikolay Ivanovitch Lobachevski)、匈牙利數學家波約(Bolyai)闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇,並非必然的幾何真理,也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」,從而發現非歐幾里得的幾何學,即非歐幾何(non-Euclidean geometry)。.

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欧几里得空间

欧几里得几何是在约公元前300年,由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”,他接着分析三维物体的“立体几何”,所有欧几里得的公理被编排到幾何原本。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度,而这种空间叫做 n维欧几里得空间(甚至简称 n 维空间)或有限维实内积空间。 这些数学空间还可被扩展到任意维的情形,称为实内积空间(不一定完备), 希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。 为了开发更高维的欧几里得空间,空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。 尽管结果的数学非常抽象,它却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质,根本性质是它的平面性。 另存在其他種類的空间,例如球面非欧几里得空间,相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。.

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正交

正交是线性代数的概念,是垂直這一直觀概念的推廣。作為一個形容詞,只有在一個確定的內積空間中才有意義。若內積空間中兩向量的內積為0,則稱它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角,則正交可以直觀的理解為垂直。物理中:運動的獨立性,也可以用正交來解釋。.

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求和符号

求和符号(Σ,sigma),是欧拉于1755年首先使用的。这个符号是源于希腊文σογμαρω(增加)的字头,Σ正是σ的大写。求和的结果是給定的數值相加後的總值,又稱加總。 舉例而言,若有4個數值:1、3、5、7,則這4個數值的總和為: 擴展為數學的一般式:若有n個數值x_1, x_2, \cdots, x_n,則此n個數值的總和為: 上式的等號右段在數學上常簡潔地寫為:.

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淨力

如果一个力的作用效果和几个力所产生的作用效果相同时,这个力就是那几个力的-- 。 那几个力就是这个力的分力。如右图,F是F1和F2的合力,F1和F2是F的分力。 它的另一种表述为:作用于同一物体上的多个力的向量和。所以,合力是矢量。.

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数学

数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科,从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用,由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念,為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善,早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見,而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始,數學的發展便持續不斷地小幅進展,至16世紀的文藝復興時期,因为新的科學發現和數學革新兩者的交互,致使數學的加速发展,直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日,數學使用在不同的領域中,包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學,有時亦會激起新的數學發現,並導致全新學科的發展,例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學,就是數學本身的实质性內容,而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始,但其过程中也發現許多應用之处。.

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