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28 关系: 埃尔米特矩阵，奧古斯丁·路易·柯西，实数，不等式，三角不等式，一元二次方程，平行，判别式，函数，內積，共轭转置，矢量，积分，線性無關，线性代数，行向量與列向量，连续函数，范数，赫尔德不等式，赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨，重覆度，概率论，欧几里得空间，方差，方程求解，数学，数学分析，拉格朗日恒等式。
- 不等式
- 奥古斯丁-路易·柯西
- 数学分析
- 概率不等式
- 算子理论
埃尔米特矩阵
埃尔米特矩阵（Hermitian matrix，又译作厄米矩阵），也稱自伴隨矩陣，是共轭對稱的方陣。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的复共轭。 对于 有： 记做： 例如： 3&2+i\\ 2-i&1 \end 就是一个埃尔米特矩阵。 显然，埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是埃尔米特矩阵。也就是说，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。.
奧古斯丁·路易·柯西
奧古斯丁·路易·柯西（法语：Augustin Louis Cauchy，，法语发音），法國數學家。.
实数
实数，是有理數和無理數的总称，前者如0、-4、81/7；后者如\sqrt、\pi等。实数可以直观地看作小數（有限或無限的），它們能把数轴「填滿」。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。实数和虚数共同构成复数。 根据日常经验，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1公分的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001公分），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414公分）。但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為：.
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不等式
不等式是數學名詞，是指表示二個量之間不等的敘述。一般常會表示成二個表示式表示要探討的量，中間再加上不等關係的符號，表示兩者的關係。以下是一些不等式的例子： 有些作者認為不等式只能用來表示中間有出現不等號≠的關係式.
三角不等式
三角不等式是數學上的一個不等式，表示從B到A再到C的距離永不少於從B到C的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。.
一元二次方程
一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。 例如，x^2-3x+2.
平行
平行是一个几何学术语。在平面几何中，永远不会相交的多条直线，或者多个平面彼此互相平行。在欧几里得几何中，由平行公设，一个平面上的直线外指定一个点，就能指定出一条与它平行的直线。在非欧几何中，根据空间曲率的不同，在一条直线外指定一个点可以作多条或零条与它平行的直线。 在三维空间或一般的欧几里得空间中，直线或平面的平行关系视乎其方向向量或法向量，但與二維平面一樣，在一条直线外面指定一个点也只能表示一条与它平行的直线，并且在一个平面外指定一个点也只能指定一個与它平行的平面。然而，在一个平面外指定一个点可以指定和它平行的直线是无数条（这些直线都在与它平行的唯一一个平面上）。.
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判别式
判別式是代数学中的概念。一个实系数或复系数多项式的判别式是一个与之相关的表达式。判别式等于零当且仅当多项式有重根。 当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为： 其中的a_n是多项式的最高次项系数，r_1,..., r_n是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。 判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中，判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。.
函数
函數在數學中為兩集合間的一種對應關係：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x2的關係就是一個函數，若以3作為此函數的輸入值，所得的輸出值便是9。 為方便起見，一般做法是以符號f,g,h等等來指代一個函數。若函數f以x作為輸入值，則其輸出值一般寫作f(x)，讀作f of x。上述的平方函數關係寫成數學式記為f(x).
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內積
#重定向 点积.
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共轭转置
矩阵A的共轭转置A^*（又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置）定义为： 其中(\cdot)_表示矩阵i行j列上的元素，\overline表示标量的复共轭。 这一定义也可以写作： 其中A^\mathrm \,\!是矩阵A的转置，\overline\,\!表示对矩阵A中的元素取复共轭。 通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置：.
矢量
#重定向 向量.
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积分
积分是微积分学与数学分析裡的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数 f(x)， f(x)在一个实数区间 上的定积分 可以理解为在 \textstyle Oxy坐标平面上，由曲线 (x,f(x))、直线x.
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線性無關
在線性代數裡，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，则稱為線--性無關或線--性獨立（linearly independent），反之稱為線性相關（linearly dependent）。例如在三維歐幾里得空間R3的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。.
线性代数
线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支。它包括对线、面和子空间的研究，同时也涉及到所有的向量空间的一般性质。 坐标满足线性方程的点集形成n维空间中的一个超平面。n个超平面相交于一点的条件是线性代数研究的一个重要焦点。此项研究源于包含多个未知数的线性方程组。这样的方程组可以很自然地表示为矩阵和向量的形式。 线性代数既是纯数学也是应用数学的核心。例如，放宽向量空间的公理就产生抽象代数，也就出现若干推广。泛函分析研究无穷维情形的向量空间理论。线性代数与微积分结合，使得微分方程线性系统的求解更加便利。线性代数的理论已被泛化为。 线性代数的方法还用在解析几何、工程、物理、自然科学、計算機科學、计算机动画和社会科学（尤其是经济学）中。由于线性代数是一套完善的理论，非线性数学模型通常可以被近似为线性模型。.
行向量與列向量
在 线性代数中，列向量 / 排矩阵 是一个 m × 1 矩阵，m 為任意正整數，例如： 此外，行向量 / 行矩阵 是一个 1 × m 矩阵，m為任意正整數，例如： 黑体字 \mathbf 用于表示行向量或列向量。 行向量的转置（以T表示）是列向量： 而列向量的转置就是行向量： 集合所有的行矢量的 向量空间 称为行空间。同样地，集合所有列矢量的向量空间称为列空间。行列空间的尺寸等的条目数量的行中的或列的矢量。 列空間可以看作是行空間的雙重空間，因為列向量空間上的任何線性函數都可以唯一地表示為具有特定行向量的內積。.
连续函数
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。 举例来说，考虑描述一棵树的高度随时间而变化的函数h(t)，那么这个函数是连续的（除非树被砍断）。又例如，假设T(P)表示地球上某一点P的空气温度，则这个函数也是连续的。事实上，古典物理学中有一句格言：“自然界中，一切都是连续的。”相比之下，如果M(t)表述在时间t的时候银行账户上的钱币金额，则这个函数无论在存钱或者取钱的时候都会有跳跃，因此函数M(t)是不连续的。.
范数
數（norm），是具有“长度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，是一個函數，其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。半範數反而可以為非零的向量賦予零長度。 舉一個簡單的例子，一個二維度的歐氏幾何空間\R^2就有歐氏範數。在這個向量空間的元素（譬如：(3,7)）常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。 擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣，擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。.
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赫尔德不等式
赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自奧托·赫爾德(Otto Hölder)。這是一條揭示L''p''空間的相互關係的基本不等式： 設S為測度空間，1 \le p,q \le \infty，及 +.
赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨
赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz，）是德國數學家。 生於普魯士西里西亞黑姆斯多夫，大學初期攻讀化學，在魏爾斯特拉斯等人的建議下改攻讀數學。施瓦茨在哈雷、哥廷根和柏林工作，範圍涉及函數論、微分幾何和變分學。 以他为名的有柯西-施瓦茨不等式、施瓦茨導數、施瓦茨-克里斯托費爾映射、施瓦茨反射原理和施瓦茨引理。 1921年逝世於德國柏林。.
重覆度
重覆度（multiplicity）是一數學名詞，多重集中某一元素的重覆度是指此元素在多重集中出現的次數。例如代数方程中特定根出現的次數。 重覆度的標示可以方便多重集的計數，若元素考慮其重覆度計數，重覆度為1的會算為1個，重覆度為2的會算為2個。若不考慮重覆度，會以「計算相異元素個數」來說明。不過若是考慮非多重集的一般集合（每個元素最多只出現一次），沒有重覆度，計算元素個數時就不會特別強調「相異」。.
概率论
概率论（Probability theory）是集中研究概率及随机现象的数学分支，是研究隨機性或不確定性等現象的數學。概率论主要研究对象为随机事件、随机变量以及随机过程。对于随机事件是不可能准确预测其结果的，然而对于一系列的独立随机事件——例如掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及輪盤等，会呈现出一定的、可以被用于研究及预测的规律，两个用来描述这些规律的最具代表性的数学结论分别是大数定律和中心极限定理。 作为统计学的数学基础，概率论对诸多涉及大量数据定量分析的人类活动极为重要，概率论的方法同样适用于其他方面，例如是对只知道系统部分状态的复杂系统的描述——统计力学，而二十世纪物理学的重大发现是以量子力学所描述的原子尺度上物理现象的概率本质。 數學家和精算師認為概率是在0至1閉區間内的數字，指定給一發生與失敗是隨機的「事件」。概率P(A)根據概率公理來指定給事件A。 一事件A在一事件B確定發生後會發生的概率稱為B給之A的條件概率；其數值為。若B給之A的條件概率和A的概率相同時，則稱A和B為獨立事件。且A和B的此一關係為對稱的，這可以由一同價敘述：「當A和B為獨立事件時，P(A \cap B).
欧几里得空间
欧几里得几何是在约公元前300年，由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理被编排到幾何原本。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n维欧几里得空间（甚至简称 n 维空间）或有限维实内积空间。 这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备）， 希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。 为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。 尽管结果的数学非常抽象，它却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，根本性质是它的平面性。 另存在其他種類的空间，例如球面非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。.
方差
方差（Variance），應用數學裡的專有名詞。在概率论和统计学中，一个随机变量的方差描述的是它的离散程度，也就是该变量离其期望值的距离。一个实随机变量的方差也称为它的二阶矩或二階中心動差，恰巧也是它的二阶累积量。這裡把複雜說白了，就是將各個誤差將之平方（而非取絕對值，使之肯定為正數），相加之後再除以總數，透過這樣的方式來算出各個數據分佈、零散（相對中心點）的程度。繼續延伸的話，方差的算术平方根称为该随机变量的标准差（此為相對各個數據點間）。.
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方程求解
數學中的方程求解是指找出哪些值（可能是數、函數、集合）可以使一個方程成立，或是指出這様的解不存在。方程是兩個用等號相連的數學表示式，表示式中有一個或多個未知數，未知數為自由變數，解方程就是要找出未知數要在什麼情形下，才能使等式成立。更準確的說，方程求解不一定是要找出未知數的值，也有可能是將未知數以表示式來表示。方程的解是一組可以符合方程的未知數，也就是說若用方程的解來取代未知數，會使方程變為恆等式。 例如方程的解為，因為若將方程中x取代為，方程會變成恆等式。也可以將y視為未知數，解則為。也可以將x和y都視為未知數，此時會有許多組的解，像是或是等，所有滿足的都是上述方程的解。 依問題的不同，方程求解可能只需要找到一組可以滿足方程的解，也有可能是要找到所有的解（）。有時方程會存在許多解，但要找到某種最佳解，這類的問題稱為最佳化問題，找出最佳化問題的解一般不視為方程求解。 有些情形下，方程求解會需要找到解析解，也就是以解析表達式來表達的解。有些情形下，方程求解只需要找到數值解，也就是數值分析的方法求解近似值。許多方程不存在解析解，或是沒有簡單形式的解析解，例如五次方程以及更高次的代數方程，不存在根式解（用有限次的四則運算及根號組合而成的解析解），這是由數學家尼爾斯·阿貝爾證明的。.
数学
数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.
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数学分析
数学分析（mathematical analysis）区别于其他非数学类学生的高等数学内容，是分析学中最古老、最基本的分支，一般指以微积分学、无穷级数和解析函數等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数、測度和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。出自《数学辞海（第一卷）》 数学分析研究的內容包括實數、複數、實函數及複變函數。数学分析是由微積分演進而來，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综合性分析方法，且初等微積分中也包括許多數學分析的基礎概念及技巧，可以认为这些应用方法是高等微积分生成的前提。数学分析的方式和其幾何有關，不過只要任一數學空間有定義鄰域（拓扑空间）或是有針對兩物件距離的定義（度量空间），就可以用数学分析的方式進行分析。.
拉格朗日恒等式
在代数中，以约瑟夫·拉格朗日命名的拉格朗日恒等式是： \begin \biggl(\sum_^n a_k^2\biggr) \biggl(\sum_^n b_k^2\biggr) - \biggl(\sum_^n a_k b_k\biggr)^2 &.
另见
不等式
- 不确定性原理
- 不等
- 不等式列表
- 伯努利不等式
- 克拉克森不等式
- 克拉夫特不等式
- 內斯比特不等式
- 切比雪夫總和不等式
- 塔珀自指公式
- 幂平均
- 平均数不等式
- 庞加莱不等式
- 排序不等式
- 权方和不等式
- 杨氏不等式
- 柯西-施瓦茨不等式
- 格羅滕迪克不等式
- 法图引理
- 牛頓不等式
- 算术-几何平均值不等式
- 索博列夫不等式
- 舒尔不等式
- 贝塞尔不等式
- 贝尔定理
- 购买力平价
- 赫尔德不等式
- 辛格尔顿界
- 闵可夫斯基不等式
- 阿贝尔不等式
- 阿达马三圆定理
- 阿达马不等式
- 马勒不等式
- 麦克劳林不等式
奥古斯丁-路易·柯西
- 中值定理
- 柯西-利普希茨定理
- 柯西-施瓦茨不等式
- 柯西-比内公式
- 柯西-阿达马公式
- 柯西-黎曼方程
- 柯西主值
- 柯西乘积
- 柯西分布
- 柯西定理
- 柯西定理 (群論)
- 柯西序列
- 柯西积分定理
- 柯西稠密判定法
- 柯西積分公式
- 柯西等式
- 柯西陨石坑
- 根值审敛法
- 皮亚诺存在性定理
- 积分判别法
数学分析
- H square
- 一致连续
- 不连续点
- 代数内部
- 全微分
- 凸组合
- 加權平均數
- 勒贝格点
- 區域 (數學)
- 半連續性
- 博谢纪念奖
- 可忽略函数
- 多對數函數
- 奇点 (数学)
- 实函数
- 导数
- 差分
- 平方可積函數
- 度量空间
- 循環連分數
- 总变差
- 恩格尔展开式
- 拉回
- 擬對稱映射
- 数学分析
- 无条件收敛
- 无穷小分析引论
- 有界集合
- 权方和不等式
- 权重
- 极值
- 柯西-施瓦茨不等式
- 柯西主值
- 次可加性
- 波前集
- 渐近展开
- 渐近线
- 無窮乘積
- 狄利克雷核
- 等度连续
- 自守数
- 處處不連續函數
- 超实数 (非标准分析)
- 连分数
- 邻域
- 阻尼
- 除以零
概率不等式
算子理论
- 不变子空间
- 不变子空间问题
- 受控不變子空間
- 哈代空間
- 哈密顿算符
- 埃尔米特伴随
- 希尔伯特-施密特算子
- 希尔伯特空间
- 幺正算符
- 微分算子
- 施图姆-刘维尔理论
- 无界算子
- 有界算子
- 权方和不等式
- 极分解
- 柯西-施瓦茨不等式
- 正规算子
- 算子范数
- 算符
- 紧算子
- 线性子空间
- 自伴算子
- 连续线性算子
- 迹类算子
亦称为 Cauchy不等式，布尼亚科夫斯基不等式，柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，柯西-布尼雅可夫斯基不等式，柯西-许瓦兹-布尼雅可夫斯基不等式，柯西不等式，施瓦兹不等式。