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李雅普诺夫稳定性

指数 李雅普诺夫稳定性

在数学和自动控制领域中,李雅普诺夫稳定性(Lyapunov stability,或李亞普诺夫稳定性)可用來描述一個动力系统的穩定性。如果此动力系统任何初始條件在 x_0 附近的軌跡均能維持在 x_0 附近,那么该系统可以称为在x_0處李雅普诺夫稳定。 若任何初始條件在 x_0 附近的軌跡最後都趨近x_0,那么该系统可以称为在x_0處漸近稳定。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率,也可以估計軌跡收斂的快慢。 李雅普诺夫稳定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得,因此李雅普诺夫稳定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普诺夫稳定性的概念可以延伸到無限維的流形,即為結構穩定性,是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。輸入-狀態穩定性(ISS)則是將李雅普诺夫稳定性應用在有輸入的系統。.

28 关系: 动力系统吸引子向量子集完备空间不动点开集冷战状态空间線性系統線性關係非線性非線性系統賦範向量空間连续函数能量自动控制自治系统控制工程李亚普诺夫指数李亞普諾夫函數正定函數混沌理论渐进稳定指数函数有界輸入有界輸出穩定性流形数学

动力系统

动态系统(dynamical system)是数学上的一个概念。動態系统是一种固定的规则,它描述一个给定空间(如某个物理系统的状态空间)中所有点随时间的变化情况。例如描述钟摆晃动、管道中水的流动,或者湖中每年春季鱼类的数量,凡此等等的数学模型都是動態系统。 在動態系统中有所谓状态的概念,状态是一组可以被确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。動態系统的演化规则是一组函数的固定规则,它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的,即对于给定的时间间隔內,从现在的状态只能演化出一个未来的状态。 若只是在一系列不连续的时间点考察系统的状态,则这个動態系统为离散動態系统;若时间连续,就得到一个连续動態系统。如果系统以一种连续可微的方式依赖于时间,我们就称它为一个光滑動態系统。.

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吸引子

吸引子是微积分和系统科学论中的一个概念。一个系统有朝某个稳态发展的趋势,这个稳态就叫做吸引子。吸引子分为平庸吸引子和奇异吸引子。 例如一个钟摆系统,它有一个平庸吸引子,这个吸引子使钟摆系统向停止晃动的稳态发展。 平庸吸引子有不动点(平衡)、极限环(周期运动)和整数维环面(概周期运动)三种模式。而不属于平庸的吸引子的都称为奇异吸引子,它表现了混沌系统中非周期性,无序的系统状态,例如天气系统。 对于吸引子,学术上并没有完善的定义,目前仅处于概念阶段。吸引子中的奇异吸引子对于混沌系统的研究意义重大.

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向量

向量(vector,物理、工程等也称作--)是数学、物理学和工程科学等多个自然科學中的基本概念,指一个同时具有大小和方向,且满足平行四边形法则的几何對象。一般地,同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量(特别地,电流属既有大小、又有正负方向的量,但由于其运算不满足平行四边形法则,公认为其不属于向量)。向量常常在以符号加箭头标示以区别于其它量。与向量相对的概念称标量或数量,即只有大小、绝大多数情况下没有方向(电流是特例)、不满足平行四边形法则的量。.

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子集

子集,為某個集合中一部分的集合,故亦稱部分集合。 若A和B为集合,且A的所有元素都是B的元素,则有:.

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完备空间

完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间:空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。.

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不动点

在数学中,函数的不动点或定点是指被这个函数映射到其自身一个点。例如,定义在实数上的函数f, 则2是函数f的一个不动点,因为f(2).

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开集

開集是指不包含任何自己邊界點的集合。或者說,開集包含的任意一點的充分小的鄰域都包含在其自身中。 例如,实数线上的由不等式2规定的集合称为开区间,是开集。这时候的边界为实数轴上的点2和5,如由不等式2\leq x \leq 5,或者2规定的区间由于包含其边界,因此不能称之为开集。 开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的,通常先公理化开集,然后通过其定义边界的概念。(详细请参照拓扑空间).

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冷战

冷戰(Cold War)指的是第二次世界大战之后,以美國及英國為首的--、與以蘇聯為首的--之間长达半世纪的政治對抗。一般认为,冷战始于1947年美国提出“杜鲁门主义”,结束于1989年苏东剧变。在二戰結束後,原先結盟對抗納粹德國的美國及蘇聯成為世界上僅有的兩個超級大國,但兩國持有不同的經濟和政治體制:美國及其他北約成员国为資本主義陣營,而蘇聯及其他华约成员国則为社会主义阵营,兩方也因此展開了數十年的對立。冷戰的名稱來自於雙方從未正式交戰的特點,因為在冷戰期間,美蘇雙方所持有的大量核武器,為兩國帶來相互保證毀滅能力。 在數十年的冷戰中,雙方的關係和冷戰的激烈性也不斷變化。重大的幾次衝突事件包括了第二次國共內戰(1946年—1949年)、柏林封鎖(1948年—1949年)、朝鲜战争(1950年—1953年)、第二次中東戰爭(1956年)、古巴飛彈危機(1962年)、越南战争(1959年—1975年)、蘇聯-阿富汗戰爭(1979年—1989年)、蘇聯擊落大韓航空007號班機(1983年)、以及北約優秀射手演習(1983年)等等。他們透過軍事的結盟、戰略部隊的佈署、對第三國的支援、間諜和宣傳、科技競爭(如太空競賽)以及核武器和傳統武器的軍備競賽來進行非直接的對抗。美蘇兩方在許多第三世界的國家進行了一系列政治和軍事的衝突,包括了拉丁美洲、非洲、中東、和東南亞地帶。為了減緩核戰爭的風險,兩方曾在1970年代試圖以緩和政策減緩軍事對立。 從1980年代開始美國就在總統隆納·雷根政府的執政下,對蘇聯發起了一系列外交、軍事和經濟上的攻勢和施壓,再加上社会主义阵营本身的經濟發展陷入了嚴重的停滯,因此,在1980年代中期,蘇聯在新任蘇共中央總書記戈巴契夫的領導下,實施了經濟改革(1987年)和開放政策(1985年)。然而東歐國家從蘇聯獨立的傾向卻只增不減,尤其以波蘭的團結工聯最為突出。種種壓力累積之下,戈巴契夫在1989年停止了對東德的支援,導致了蘇聯旗下的衛星國,在數週內一一脫離,令蘇聯最後在1991年年底徹底解體,資本主義反共陣營取得勝利。在冷戰結束後,美國成為了世界上唯一的超級大國。冷戰使當時無數國家的命運和人民的生活都發生重大改變,留下的影響更有不少存留至今。此外冷戰中的核戰爭和間諜戰、高科技軍備等成分也成為了大眾文化常見的題材。.

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状态空间

态空间是控制工程中的一個名詞。状态是指在系统中可决定系统状态、最小数目变量的有序集合。而所谓状态空间则是指该系统全部可能状态的集合。簡單來說,状态空间可以視為一個以狀態變數為座標軸的空間,因此系統的狀態可以表示為此空間中的一個向量。 状态空间表示法即為一種將物理系統表示為一組輸入、輸出及狀態的數學模式,而輸入、輸出及狀態之間的關係可用許多一階微分方程來描述。 為了使數學模式不受輸入、輸出及狀態的個數所影響,輸入、輸出及狀態都會以向量的形式表示,而微分方程(若是線性非時變系統,可將微分方程轉變為代數方程)則會以矩陣的形式來來表示。 状态空间表示法提供一種方便簡捷的方法來針對多輸入、多輸出的系統進行分析並建立模型。一般頻域的系統處理方式需限制在常係數,啟始條件為0的系統。而状态空间表示法對系統的係數及啟始條件沒有限制。.

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線性系統

線性系統是一數學模型,是指用線性運算子組成的系統。相較於非線性系統,線性系統的特性比較簡單。例如以下的系統即為一線性系統: 由於線性系統較容易處理,許多時候會將系統理想化或簡化為線性系統。線性系統常應用在自動控制理論、信號處理及電信上。像無線通訊訊號在介質中的傳播就可以用線性系統來模擬。 線性系統需滿足線性的特性,若線性系統還滿足非時變性(即系統的輸入信號若延遲τ秒,那麼得到的輸出除了這τ秒延時以外是完全相同的),則稱為線性時不變系統。.

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線性關係

在现代学术界中,線性關係一詞存在2种不同的含义。其一,若某數學函數或数量关系的函数图形呈現為一條直線或線段,那么这种关系就是一种線性的關係。其二,在代数学和数学分析学中,如果一种运算同时满足特定的“加性”和“齐性”,则称这种运算是线性的。.

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非線性

#重定向 非線性系統.

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非線性系統

在物理科學中,如果描述某個系統的方程其輸入(自變數)與輸出(應變數)不成正比,則稱為非線性系統。由於自然界中大部分的系統本質上都是非線性的,因此許多工程師、物理學家、數學家和其他科學家對於非線性問題的研究都極感興趣。非線性系統和線性系統最大的差別在於,非線性系統可能會導致混沌、不可預測,或是不直觀的結果。 一般來說,非線性系統的行為在數學上是用一組非線性聯立方程來描述的。非線性方程裡含有由未知數構成的非一次多項式;換句話說,一個非線性方程並不能寫成其未知數的線性組合。而非線性微分方程,則是指方程裡含有未知函數及其導函數的乘冪不等於一的項。在判定一個方程是線性或非線性時,只需考慮未知數(或未知函數)的部分,不需要檢查方程中是否有已知的非線性項。例如在微分方程中,若所有的未知函數、未知導函數皆為一次,即使出現由某個已知變數所構成的非線性函數,我們仍稱它是一個線性微分方程。 由於非線性方程非常難解,因此我們常常需要以線性方程來近似一個非線性系統(線性近似)。這種近似對某範圍內的輸入值(自變數)是很準確的,但線性近似之後反而會無法解釋許多有趣的現象,例如孤波、混沌和奇點。這些奇特的現象,也常常讓非線性系統的行為看起來違反直覺、不可預測,或甚至混沌。雖然「混沌的行為」和「隨機的行為」感覺很相似,但兩者絕對不能混為一談;也就是說,一個混沌系統的行為絕對不是隨機的。 舉例來說,許多天氣系統就是混沌的,微小的擾動即可導致整個系統產生各種不同的複雜結果。就目前的科技而言,這種天氣的非線性特性即成了長期天氣預報的絆腳石。 某些書的作者以非線性科學來代指非線性系統的研究,但也有人不以為然:.

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賦範向量空間

在数学中,赋范向量空间是具有“长度”概念的向量空间。是通常的欧几里得空间 Rn 的推广。Rn中的长度被更抽象的范数替代。“长度”概念的特征是:.

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连续函数

在数学中,连续是函数的一种属性。直观上来说,连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候,输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义,则这个函数被称为是不连续的函数(或者说具有不连续性)。 举例来说,考虑描述一棵树的高度随时间而变化的函数h(t),那么这个函数是连续的(除非树被砍断)。又例如,假设T(P)表示地球上某一点P的空气温度,则这个函数也是连续的。事实上,古典物理学中有一句格言:“自然界中,一切都是连续的。”相比之下,如果M(t)表述在时间t的时候银行账户上的钱币金额,则这个函数无论在存钱或者取钱的时候都会有跳跃,因此函数M(t)是不连续的。.

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能量

在物理學中,能量(古希臘語中 ἐνέργεια energeia 意指「活動、操作」)是一個間接觀察到的物理量。它往往被視為某一個物理系統對其他的物理系統做功的能力。由於功被定義為力作用一段距離,因此能量總是等同於沿著一定的長度阻擋某作用力的能力。 一個物體所含的總能量奠基於其質量,能量如同質量一般,不會無中生有或無故消失。能量就像質量一樣,是一個純量。在國際單位制(SI)中,能量的單位是焦耳,但是在有些領域中會習慣使用其他單位如千瓦·時和千卡,這些也是功的單位。 A系統可以藉由簡單的物質轉移將能量傳輸到B系統(因為物質的質量等效於能量)。然而,如果能量不是藉由物質轉移而傳輸能量,而是由其他方法轉移能量,將會使B系統產生變化,因為A系統對B系統作了功。這功表現的效果如同於一個力沿一定的距離作用在接收能量的系統裡。舉例來說,A系統可以藉由轉移(輻射)電磁能量到B系統,而這會在吸收輻射能量的粒子上產生力。同樣的,一個系統可能藉由碰撞轉移能量,而這種情況下被碰撞的物體會在一段距離內受力並獲得運動的能量,稱為動能。熱可以藉由輻射能轉移,或者直接藉由系統間粒子的碰撞而以微觀粒子之動能的形式傳遞。 能量可以不表現為物質、動能或是電磁能的方式儲存在一個系統中。當粒子在與其有交互作用的力場中受外力移動一段距離,此粒子移動到這個場的新位置所需的能量便如此的被儲存了。當然粒子必須藉由外力才能保持在新位置上,否則其所處在的場會藉由釋放儲存能量的方式,讓粒子回到原來的狀態。這種藉由粒子在力場中改變位置而儲存的能量就稱為位能。一個簡單的例子就是在重力場中往上提升一個物體到某一高度所需要做的功就是位能。 任何形式的能量可以轉換成另一種形式。舉例來說,當物體在力場中,因力場作用而移動時,位能可以轉化成動能。當能量是屬於非熱能的形式時,它轉化成其他種類能量的效率可以很高甚至達百分之百,如沿光滑斜面下滑的物體,或者新物質粒子的產生。然而如果以熱能的形式存在,則在轉換成另一種型態時,就如同熱力學第二定律所描述的,總會有轉換效率的限制。 在所有能量轉換的過程中,總能量保持不變,原因在於總系統的能量是在各系統間做轉移,當某個系統損失能量,必定會有另一個系統得到這損失的能量,導致失去和獲得達成平衡,所以總能量不改變。這個能量守恆定律,是十九世紀初時提出,並應用於任何一個孤立系統。(其後雖有質能轉換方程式的發現,但根據該方程式,亦可以把質量視為能量的另一存在形式,所以此定律可說依舊成立)根據諾特定理,能量守恆是由於物理定律不會隨時間改變而得到的自然結果。 雖然一個系統的總能量,不會隨著時間改變,但其能量的值,可能會因為參考系而有所不同。例如一個坐在飛機裡的乘客,相對於飛機其動能為零;但是相對於地球來說,動能卻不為零。.

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自动控制

自動化控制(automation control)屬於自動化技術的一門,廣義來說,通常是指不需藉著人力親自操作機器或機構,而能利用動物以外的其他裝置元件或能源,來達成人類所期盼執行的工作。更狹義地說即是以生化、機電、電腦、通訊、水力、蒸汽等科學知識與應用工具,進行設計來代替人力或減輕人力或簡化人類工作程序的機構機制,皆可稱之。 自动控制是相对人工控制概念而言的。指的是在没人参与的情况下,利用控制装置使被控对象或过程自动地按预定规律运行。自动控制技术的研究有利于将人类从复杂、危险、繁琐的劳动环境中解放出来并大大提高控制效率。 自动控制系统的理论主要是反馈论,包括从功能的观点对机器和物体中(神经系统、内分泌及其他系统)的调节和控制的一般规律的研究。离散控制理论在计算中也有很广泛的应用。 自动控制是工程科学的一个分支。它涉及利用反馈原理的对动态系统的自动影响,以使得输出值接近我们想要的值。从方法的角度看,它以数学的系统理论为基础。我们今天称作自动控制的是二十世纪中叶产生的控制论的一个分支。基础的结论是由诺伯特·维纳、鲁道夫·卡尔曼提出的。 室内温度的调节是一个简明易懂的例子。目的是把室内温度保持在一个定值θ,尽管开窗等因素使得室内热量散发出室外(干扰d)。为了达到这个目的,加热必须被适当的影响。通过阀门的调节,温度就会保持恒定。除此之外,在人们有感觉之前,暖器热水的温度也会受外界温度的干扰。.

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自治系统

在互联网中,一个自治系统(英文:Autonomous system, AS)是指在一个(有时是多个)实体管辖下的所有IP网络和路由器的全体,它们对互联网执行共同的路由策略。参看中更新的定义。 最初时,该定义要求一个自治系统由一个单一实体管辖,通常是一个互联网服务提供商或一个拥有到多个网络的独立连接的大型组织,其遵循一个单一且明确的路由策略。参看,边界网关协议(BGP)的初始定义(现已废止)。由于多个组织可使用各自私有的自治系统编号来与同一个将它们连接到互联网的ISP之间运行BGP协议,因此得到较多应用的是中较新的定义。尽管ISP支持了这多个自治系统,但对互联网来说只能看到该ISP的路由策略。所以ISP必须具有一个公开且正式登记的自治系统编号(ASN)。 用于BGP路由中的每个自治系统都被分配一个唯一的自治系统编号(ASN)。对BGP来说,因为ASN是区别整个相互连接的网络中的各个网络的唯一标识,所以这个自治系统编号非常重要。互联网地址分派机构将64512到65535的ASN编号保留给(私有)专用网络使用。.

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控制工程

控制工程(Control engineering)是有关控制理论研究与应用的一门工程学。控制系统的实现通常基于传感器的使用,它可以测量被控制设备的性能参数,然后收集到的数据以反馈的形式施加到执行器上,使得执行器输出一定的信号,确保系统工作在预期的状态。工程师可以设计无需人介入、可以自适应、自动修正误差的设备系统,这种系统被称为“自动控制”,例如汽车的巡航定速系统。控制工程在本质上是一个交叉学科,而描述系统行为的数学模型则又是重中之重。.

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李亚普诺夫指数

在数学领域中,李亚普诺夫指数(Lyapunov exponent)或李亚普诺夫特征指数(Lyapunov characteristic exponent)用于量化动力系统中无限接近的轨迹之间的分离率。具体而言,相空间中初始间隔\delta \mathbf_0的两条轨迹的分离率为(假定分离可按线性近似来处理) 其中\lambda即为李亚普诺夫指数。 当初始分离向量的方向不同时,其分离率也不同。因而存在李亚普诺夫指数谱(spectrum of Lyapunov exponents),其数量与相空间的维度相同。通常将其中最大的称为最大李亚普诺夫指数(Maximal Lyapunov exponent,简称MLE),因为它决定了动力系统的可预测性。正的MLE通常表明系统是混沌的(假定其他条件满足,如相空间的紧致性)。需要注意的是,任意初始分离向量一般包括了MLE所在方向的部分分量,由于其随指数增长的特征,其他分量的效果随着时间最终会被掩盖。 李亚普诺夫指数是以俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫的名字命名的。.

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李亞普諾夫函數

李雅普诺夫函数(Lyapunov function)是用來證明一動力系統或自治微分方程穩定性的函數。其名稱來自俄罗斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫(Александр Михайлович Ляпунов)。李亞普諾夫函數在穩定性理論及控制理論中相當重要。 若一函數可能可以證明系統在某平衡點的穩定性,此函數稱為李亞普諾夫候選函數(Lyapunov-candidate-function)。不過目前還找不到一般性的方式可建構(或找到)一個系統的李亞普諾夫候選函數,而找不到李亞普諾夫函數也不代表此系統不穩定。在動態系統中,有時會利用守恆律來建構李亞普諾夫候選函數。 針對自治系統的李亞普諾夫定理,直接使用李亞普諾夫候選函數的特性。在尋找一個系統平衡點附近的穩定性時,此定理是很有效的工具。不過此定理只是一個證明平衡點穩定性的充分條件,不是必要條件。而尋找李亞普諾夫函數也需要碰運氣,通常會用試誤法(trial and error)來尋找李亞普諾夫函數。.

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正定函數

在數學上,正定函數一詞可以用來表達許多不同的概念。.

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混沌理论

混沌理论(Chaos theory)是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔(bifurcation)、周期运动与非周期运动相互纠缠,以至于通向某种非周期有序运动的理论。在耗散系统和保守系统中,混沌运动有不同表现,前者有吸引子,后者无(也称含混吸引子)。 从20世纪80年代中期到20世纪末,混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注,引发了全球混沌热。混沌,也写作浑沌(比如《庄子》)。自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种類似随机的行为或性态。确定性(deterministic)是指方程不含随机项的系统,也称动力系统(dynamical system)。典型的模型有單峰映象(logistic map)迭代系统,洛伦兹微分方程系统,若斯叻吸引子,杜芬方程,蔡氏电路,陳氏吸引子等。为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、(Y.

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渐进稳定

如果微分方程的解既是稳定的又是吸引的,则称该解是渐进稳定的。.

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指数函数

指数函数(Exponential function)是形式為b^x的數學函数,其中b是底數(或稱基數,base),而x是指數(index / exponent)。 現今指數函數通常特指以\mbox為底數的指數函數(即\mbox^x),為数学中重要的函数,也可寫作\exp(x)。这里的\mbox是数学常数,也就是自然对数函数的底数,近似值为2.718281828,又称为欧拉数。 作为实数变量x的函数,y.

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有界輸入有界輸出穩定性

在信號處理及控制理論中,有界輸入有界輸出穩定性簡稱BIBO穩定性,是一種針對有輸入信號線性系統的穩定性。BIBO是「有界輸入有界輸出」(Bounded-Input Bounded-Output)的簡稱,若系統有BIBO穩定性,則針對每一個有界的輸入,系統的輸出也都會有界,不會發散到無限大。 對於信號若存在有限的定值B > 0使得信號的振幅不會超過B,則此信號為有界的,也就是說.

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流形

流形(Manifolds),是局部具有欧几里得空间性质的空间,是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。 流形在数学中用于描述几何形体,它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理上,经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。位形空间中也可以定义流形。环面就是双摆的位形空间。 一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的,因为所有变形(同胚)会保持拓扑结构不变;而把解析几何结构看作是“硬”的,因为整体的结构都是固定的。例如一个多项式,如果你知道 (0,1) 区间的取值,则整个实数范围的值都是固定的,所以局部的变动会导致全局的变化。光滑流形可以看作是介于两者之间的模型:其无穷小的结构是“硬”的,而整体结构则是“柔软”的。这也许是中文译名“流形”的原因(整体的形态可以流动)。该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样,流形的硬度使它能够容纳微分结构,而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。.

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数学

数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科,从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用,由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念,為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善,早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見,而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始,數學的發展便持續不斷地小幅進展,至16世紀的文藝復興時期,因为新的科學發現和數學革新兩者的交互,致使數學的加速发展,直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日,數學使用在不同的領域中,包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學,有時亦會激起新的數學發現,並導致全新學科的發展,例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學,就是數學本身的实质性內容,而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始,但其过程中也發現許多應用之处。.

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