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17 关系: 域 (數學)，埃瓦里斯特·伽罗瓦，可分扩张，密码学，代数几何，伽罗瓦群，伽罗瓦扩张，伽羅瓦理論，循環群，元素 (數學)，素数，编码理论，特征 (代数)，集合 (数学)，有限幾何學，数学，数论。
域 (數學)
在抽象代数中，域（Field）是一种可進行加、減、乘和除（除了除以零之外，「零」即加法單位元素）運算的代數結構。域的概念是数域以及四则运算的推广。 域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素（除零元素之外）可以进行除法运算，这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。體中的運算关于乘法是可交换的。若乘法運算沒有要求可交換則稱為除環（division ring）或skew field。.
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埃瓦里斯特·伽罗瓦
埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois，，法語發音：），法国著名的数学家。在他还只有十几岁的时候，他就发现了n次多项式可以用根式解的充要条件，解决了长期困扰数学界的问题。他的工作为伽罗瓦理论（一个抽象代数的主要分支）以及伽罗瓦连接领域的研究奠定了基石。他是第一个使用「群」这一個数学术语来表示一组置换的人。與尼尔斯·阿贝尔並稱為現代群論的創始人。在路易·菲利普复辟的时期，他是一个激进的共和主义者，并因此被逮捕、坐牢。二十岁出狱后，他在一次幾近自殺的決鬥中逝世，引起種種揣測。.
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可分扩张
可分扩张是抽象代数之域扩张理论中的概念。如果一个代数扩张满足：任何一个中元素在基域上的极小多项式都是可分多项式，那么这个扩张就称作可分扩张。由于特征为0的域（包括常见的有理数域\mathbb）以及有限域都是完美域，任何这些域上的代数扩张都是可分扩张，因此可分扩张在域论研究中十分重要。可分扩张还是伽罗瓦扩张的条件之一，因此它在伽罗瓦理论中也扮演了重要的角色。.
密码学
密碼學（Cryptography）可分为古典密码学和现代密码学。在西欧語文中，密码学一词源於希臘語kryptós“隱藏的”，和gráphein“書寫”。古典密码学主要关注信息的保密书写和传递，以及与其相对应的破译方法。而现代密码学不只关注信息保密问题，还同时涉及信息完整性验证（消息验证码）、信息发布的不可抵赖性（数字签名）、以及在分布式计算中产生的来源于内部和外部的攻击的所有信息安全问题。古典密码学与现代密码学的重要区别在于，古典密码学的编码和破译通常依赖于设计者和敌手的创造力与技巧，作为一种实用性艺术存在，并没有对于密码学原件的清晰定义。而现代密码学则起源于20世纪末出现的大量相关理论，这些理论使得现代密码学成为了一种可以系统而严格地学习的科学。 密码学是数学和计算机科学的分支，同时其原理大量涉及信息论。著名的密碼學者罗纳德·李维斯特解釋道：「密碼學是關於如何在敵人存在的環境中通訊」，自工程學的角度，這相當于密碼學與純數學的差异。密碼學的发展促進了计算机科学，特別是在於電腦與網路安全所使用的技術，如存取控制與資訊的機密性。密碼學已被應用在日常生活：包括自动柜员机的晶片卡、電腦使用者存取密碼、電子商務等等。.
代数几何
代数几何是数学的一个分支。 经典代数几何研究多项式方程的零点，而现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线，比如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线、三次曲线（非奇异情形称作椭圆曲线）、四次曲线（如双纽线，以及卵形线）、以及一般n次曲线。代数几何的基本问题涉及对代数簇的分类，比如考虑在双有理等价意义下的分类，即双有理几何，以及模空间问题，等等。 代数几何在现代数学占中心地位，与多复变函数论、微分几何、拓扑学和数论等不同领域均有交叉。始于对代数方程组的研究，代数几何延续解方程未竟之事；与其求出方程实在的解，代数几何尝试理解方程组的解的几何性质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支。 进入20世纪，代数几何的研究又衍生出几个分支：.
伽罗瓦群
伽罗瓦群（Groupe de Galois）是抽象代数中域论的概念，表示与某个类型的域扩张相伴的群，是伽罗瓦理论的基础概念。域扩张源于多项式。通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式的理论，称为伽罗瓦理论，是十九世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦为了解决“高次多项式方程是否有根式解”的问题而创造的。后世也以他的名字命名相关的概念。 用置换群更初等地讨论伽罗瓦群，参见伽罗瓦理论一文。.
伽罗瓦扩张
伽罗瓦扩张是抽象代数中伽罗瓦理论的核心概念之一。伽罗瓦扩张是域扩张的一类。如果某个域扩张既是可分扩张也是正规扩张，则称其为伽罗瓦扩张。另一个等价的定义是：伽罗瓦扩张是使得其上的环自同构群的固定域为其基域的域扩张。伽罗瓦扩张上的自同构群称为伽罗瓦群，而且伽罗瓦扩张的中间域与其伽罗瓦群的子群之间的关系满足伽罗瓦理论基本定理。.
伽羅瓦理論
在数学中，特别是抽象代数理论中，由法國數學家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）得名的伽罗瓦理论提供了域论和群论之间的联系。应用伽罗瓦理论，域论中的一些问题可以化简为更简单易懂的群论问题。 伽罗瓦最初使用置换群来描述给定的多项式的根与根之间的关系。由戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）、利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）、埃米爾·阿廷（Emil Artin）等人发展起来的现代伽罗瓦理论引入了关于域扩张及其自同构的研究。 伽罗瓦理论的进一步抽象为伽罗瓦连接理论。.
循環群
在群論中，循環群（英文：cyclic group），是指能由單個元素所生成的群。有限循环群同构于整数同余加法群 Z/nZ，无限循环群则同构于整数加法群。每個循環群都是阿贝尔群，亦即其運算是可交換的。在群论中，循环群的性质已经被研究的较为透彻，是更为复杂的代数研究中常用到的基础工具。.
元素 (數學)
在数学领域，集合的元素（element）指构成该集合的任意，也可以称作成员（member）。.
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素数
質--數（Prime number），又称素--数，指在大於1的自然数中，除了1和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合數。例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。而6則是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正因數。算術基本定理確立了質數於數論裡的核心地位：任何大於1的整數均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是質數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解）。 古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在（欧几里得定理）。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中試除法比較簡單，但需時較長：設被測試的自然數為n，使用此方法者需逐一測試2與\sqrt之間的整數，確保它們無一能整除n。對於較大或一些具特別形式（如梅森數）的自然數，人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數（例如277232917-1是直至2017年底為止已知最大的梅森質數）。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式，但已建構了質數的分佈模式（亦即質數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的質數定理指出：一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位（或n的對數）。 許多有關質數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生質數猜想（存在無窮多對相差2的質數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念，主要出現在代數裡，如質元素及質理想。.
编码理论
编码理论（Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、電機工程學、数学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。 编码共分四类：.
特征 (代数)
在数学中，环R的特征被定义为最小的正整数n使得 这里的na被定义为 如果不存在这样的n，R的特征被定义为0。R的特征经常指示为char(R)。 环R的特征可以等价的定义为唯一的自然数n使得nZ是映射1到1R的从Z到R的唯一的环同态的核。另一个等价的定义：R的特征是唯一的自然数n使得R包含同构于商环Z/nZ的子环。.
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集合 (数学)
集合（Set，或簡稱集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象，指具有某种特定性质的事物的总体，（在最原始的集合論─樸素集合論─中的定義，集合就是“一堆東西”。）集合裡的事物（“东西”），叫作元素。若然 x 是集合 A 的元素，記作 x ∈ A。 集合是现代数学中一个重要的基本概念，而集合论的基本理论是在十九世纪末被创立的。这里对被数学家们称为“直观的”或“朴素的”集合论进行一个简短而基本的介绍，另外可參见朴素集合论；關於对集合作公理化的理論，可见公理化集合论。.
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有限幾何學
在數學中，有限幾何是滿足某些幾何學公理，但僅含有限個點的幾何系統。歐氏幾何並非有限，因為它必包含一條歐氏直線，其上的點一一對應於實數。 有限幾何系統可以依維度分類，為簡單起見，以下僅介紹低維度的情形。.
数学
数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.
数论
數論是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性質。被譽為「最純」的數學領域。 正整数按乘法性质划分，可以分成質数，合数，1，質数產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數猜想等，即。很多問題虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。 整数可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。 數論早期稱為算術。到20世紀初，才開始使用數論的名稱，而算術一詞則表示「基本運算」，不過在20世紀的後半，有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。1952年時數學家Harold Davenport仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」。 卡尔·弗里德里希·高斯曾說：「數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。.
