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唯一素数

指数 唯一素数

唯一素数(Unique prime)是指一個不為2, 5,有以下性質的質數p:不存在其他質數q,其倒數1 / q的循环節長度和1 / p的循环節長度相等。唯一素数是在1980年代由Samuel Yates提出。 可以證明素数p其倒數的循环節長度為n若且唯若存在一自然數c使得下式成立(下面内容仅限于十进制范畴): 其中Φn(x)為n次的分圓多項式。至2010年為止,已經找到逾50個唯一素数或者有此性質的,但是小於10100的唯一素数--有23個。以下是這些唯一素数及其循环節位數: 倒數循环節長度素数 13 211 337 4101 109,091 129,901 9333,667 14909,091 2499,990,001 36999,999,000,001 489,999,999,900,000,001 38909,090,909,090,909,091 191,111,111,111,111,111,111 2311,111,111,111,111,111,111,111 39900,900,900,900,990,990,990,991 62909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 120100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001 15010,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001 1069,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 93900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991 134909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 294142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143 196999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001 倒數循环節長度294位的唯一素数類似7的倒數(0.142857142857142857...)。 接續上表的第24個唯一素数有128位,倒數循环節長度為320位,可以寫成(932032)2+1,其中下標n表示前面的一個數字或一組數字會重覆出現n次。 所有循環單位素数都是唯一素数。依照循環單位素数及循環單位可能素數出現的頻率來看,唯一素数非常的少見,不過數學家們仍強烈推論有無窮多個唯一素数。 至2010年為止,循環單位(10270343-1)/9是已知最大的可能唯一素数。 至1996年為止,確定是質數的最大唯一素数是(101132 + 1)/10001,若用前文中的表示法,可以表示為(99990000)141+ 1,其倒數循环節長度為為2264位,後來陸續證明更大的唯一素数,至2010年為止,確定是質數的最大唯一素数有10081位數。.

41 关系: 十进制二进制当且仅当循环小数循環單位倒数素数瓦格斯塔夫質數費馬數10101111212713141515116171819220212224241257330313744143577389

十进制

十進制是以10為基礎的數字系统。 十进制有两大类:.

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二进制

在數學和數字電路中,二進制(binary)數是指用二進制記數系統,即以2為基數的記數系統表示的數字。這一系統中,通常用兩個不同的符號0(代表零)和1(代表一)來表示。以2為基數代表系統是二進位制的。數字電子電路中,邏輯門的實現直接應用了二進制,因此現代的計算機和依赖計算機的設備裡都用到二進制。每個數字稱為一個位元(二進制位)或比特(Bit,Binary digit的縮寫)。.

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当且仅当

当且仅当(If and only if)(中国大陆又称作当且--仅当,臺灣又称作若且--唯若),在--邏輯中,逻辑算符反互斥或閘(exclusive or)是对两个运算元的一种邏輯分析类型,符号为XNOR或ENOR或\Leftrightarrow。与一般的邏輯或非NOR不同,當兩兩數值相同為是,而數值不同時為否。在数学、哲学、逻辑学以及其他一些技术性领域中被用来表示“在,并且仅仅在这些条件成立的时候”之意,在英语中的对应标记为iff。“A当且仅当B”其他等价的说法有“当且仅当A則B”;“A是B的充分必要条件(充要條件)”。 一般而言,當我們看到“A当且仅当B”,我們可以知道“如果A成立時,則B一定成立;如果B成立時,則A也一定成立”;“如果A不成立時,則B一定不成立;如果B不成立時,則A也一定不成立”。.

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循环小数

循环小数,是從小數部分的某一位起,一個數字或幾個數字,依次不斷地重複出現的小數。可分为有限循环小数和无限循环小数。.

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循環單位

在趣味數學中,循環單位是由1組成的數如1, 11, 111, 1111等。 1966年,A.H. Beiler稱這類數為repunit,表示repeated unit。 對於n≥1,循環單位可以這樣定義: 亦可以用遞歸的方法: 其中b\,\!是进位制的底。在這篇文章,循環單位都是指十进制中的。.

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倒数

數學上,一个数\displaystyle x的倒数(reciprocal),或稱乘法逆元(multiplicative inverse),是指一個与\displaystyle x相乘的积为1的数,记为\displaystyle \tfrac或\displaystyle x^。在抽象代数中,倒数所对应的抽象化概念是乘法群的某个元素的“乘法逆”,也就是相对于群中“乘法”运算的逆元素。注意这个名词只当相应的群中的运算被称为“乘法”后才使用。如果群中的运算被称为“加法”,那么同样的概念称为“加法逆”。乘法逆的具体定义可以参见群的逆元素概念。 汉语中,名词倒数一般用来表示数字的乘法逆,一般在各种数域如:有理数、实数、复数,以及模n的同余类所构成的乘法群中使用。在复数域(实数域)中,每个除了0以外的复数(实数)都存在倒数:只要用某个数自身除1(也就是说用1除以某个数),即可得到它的倒数。用数学记号表示的话: 每个复数(实数)只有一个倒数。一般来说,并不是对所有的代数结构中的乘法运算,每个元素都存在其乘法逆,如对矩阵乘法来说,秩小于阶数的矩阵就没有乘法逆。一个环中的一个元素有乘法逆当且仅当它是可逆元,而它的乘法逆是唯一的当且仅当它不是一个零因子,或者说当它是一个正则元。每个非零元素都有乘法逆的环称为除环。每个非零元素都至多有一个乘法逆的环称为无零因子环。.

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素数

質--數(Prime number),又称素--数,指在大於1的自然数中,除了1和該数自身外,無法被其他自然数整除的数(也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数)。大於1的自然數若不是質數,則稱之為合數。例如,5是個質數,因為其正因數只有1與5。而6則是個合數,因為除了1與6外,2與3也是其正因數。算術基本定理確立了質數於數論裡的核心地位:任何大於1的整數均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性,1被定義為不是質數,因為在因式分解中可以有任意多個1(如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解)。 古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在(欧几里得定理)。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中試除法比較簡單,但需時較長:設被測試的自然數為n,使用此方法者需逐一測試2與\sqrt之間的整數,確保它們無一能整除n。對於較大或一些具特別形式(如梅森數)的自然數,人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數(例如277232917-1是直至2017年底為止已知最大的梅森質數)。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式,但已建構了質數的分佈模式(亦即質數在大數時的統計模式)。19世紀晚期得到證明的質數定理指出:一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位(或n的對數)。 許多有關質數的問題依然未解,如哥德巴赫猜想(每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和)及孿生質數猜想(存在無窮多對相差2的質數)。這些問題促進了數論各個分支的發展,主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中,如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念,主要出現在代數裡,如質元素及質理想。.

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瓦格斯塔夫質數

形式如(2^p+1)/3的質數稱為瓦格斯塔夫質數,首幾項為: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127...(OEIS:A000978) 目前已知最大的瓦格斯塔夫素数是\frac3,是Vincent Diepeveen於2008年6月發現。.

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費馬數

費馬數是以数学家费马命名一组自然数,具有形式: 其中n为非负整数。 若2n + 1是素数,可以得到n必须是2的幂。(若n.

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10

10(十)是9与11之间的自然数。.

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101

101是100与102之间的自然数。.

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11

11(十一)是10与12之间的自然数。.

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12

12(十二)是11与13之间的自然数。.

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127

127是126与128之间的自然数。.

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13

13(十三)是12與14之間的自然數。.

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14

14(十四)是13与15之间的自然数。.

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15

15(十五)是14与16之间的自然数。.

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151

151是150與152之間的自然數。.

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16

16(十六)是15与17之间的自然数。.

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17

17(十七)是16与18之间的自然数。.

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18

18(十八)是17与19之间的自然数。.

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19

19(十九)是18与20之间的自然数。.

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2

2(二)是1与3之间的自然数,2是唯一的偶數質數 (又稱偶素數)。.

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20

20(二十)是19与21之间的自然数。.

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21

21是20与22之间的自然数。.

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22

22是21与23之间的自然数。.

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24

24是23与25之间的自然数,是一個合數,質因數有2和3。常見文化中有許多事物與24有關,例如一日有24小時、一年有24節氣。.

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241

241是240與242之間的自然數。.

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257

257是256与258之间的自然数。.

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3

3(三)是2与4之间的自然数,是第2個質數。3是自然數,亦是一個正整數。.

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30

30是29与31之间的自然数。.

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31

31是30与32之间的自然数。.

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37

37是36与38之间的自然数。.

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4

4(四)是3与5之间的自然数,是第一个合成数。.

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41

41是40与42之间的自然数。.

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43

43是42与44之间的自然数。.

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5

5(五)是4与6之间的自然数,是第3個質數。.

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7

7(七)是6与8之间的自然数。.

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73

73是72与74之间的自然数。.

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8

8(八)是7与9之间的自然数。.

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9

9(九)是8与10之间的自然数。.

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