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反對稱矩陣

指数 反對稱矩陣

在線性代數中,反對稱矩陣(或稱斜對稱矩陣)是一個方形矩陣,其轉置矩陣和自身的加法逆元相等。其滿足: 或寫作A.

23 关系: 加法逆元向量對稱矩陣主對角線伴随矩阵切空间矩阵指数线性代数行列式谱定理转置矩阵辛矩陣连通空间酉矩阵雅可比矩阵李代數李群正交矩阵正交群正规矩阵指数映射方块矩阵

加法逆元

對於一個數n,存在一加法逆元(Additive Inverse,又稱相反數),其與n的和為零(加法單位元素)。n的加法逆元表示為-n。 在實數範圍內,兩個相反數相乘必不為正數。又,一個數x的相反數-x,被稱為其加法逆元;相對地,一個數x的倒數1/x,則被稱為其乘法逆元。.

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向量

向量(vector,物理、工程等也称作--)是数学、物理学和工程科学等多个自然科學中的基本概念,指一个同时具有大小和方向,且满足平行四边形法则的几何對象。一般地,同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量(特别地,电流属既有大小、又有正负方向的量,但由于其运算不满足平行四边形法则,公认为其不属于向量)。向量常常在以符号加箭头标示以区别于其它量。与向量相对的概念称标量或数量,即只有大小、绝大多数情况下没有方向(电流是特例)、不满足平行四边形法则的量。.

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對稱矩陣

在線性代數中,對稱矩陣是一個方形矩陣,其轉置矩陣和自身相等。 對稱矩陣中的右上至左下方向元素以主對角線(左上至右下)為軸進行對稱。若將其寫作A.

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主對角線

在線性代數中,一個方块矩阵的主對角線是一條由左上角至右下角的對角線。例如,以下矩陣中,為1的元素就位在主對角線上: 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end 如果一个矩阵的主對角線以外的元素全為0,這樣的矩陣就稱作對角矩陣。而主對角線元素的和,即為矩陣的跡數。 另一種對角線則稱作反對角線、反向對角線或次對角線。 反向對角線即为从右上角到左下角的对角线。 Z.

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伴随矩阵

在线性代数中,一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法。.

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切空间

切空间(Tangent space)是在某一点所有的切向量组成的线性空间。向量(切向量)存在多种定义。直观的讲,如果所研究的流形(Manifold)是一个三维空间中的曲面,则在每一点的切向量,就是和该曲面相切的向量,切空间就是和该曲面相切的平面。.

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矩阵指数

矩阵指数是方块矩阵的一种矩阵函数,与指数函数类似。矩阵指数给出了矩阵李代数与对应的李群之间的关系。 设X为n×n的实数或复数矩阵。X的指数,用eX或exp(X)来表示,是由以下幂级数所给出的n×n矩阵: 以上的级数总是收敛的,因此X的指数是定义良好的。注意,如果X是1×1的矩阵,则X的矩阵指数就是由X的元素的指数所组成的1×1矩阵。.

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线性代数

线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支。它包括对线、面和子空间的研究,同时也涉及到所有的向量空间的一般性质。 坐标满足线性方程的点集形成n维空间中的一个超平面。n个超平面相交于一点的条件是线性代数研究的一个重要焦点。此项研究源于包含多个未知数的线性方程组。这样的方程组可以很自然地表示为矩阵和向量的形式。 线性代数既是纯数学也是应用数学的核心。例如,放宽向量空间的公理就产生抽象代数,也就出现若干推广。泛函分析研究无穷维情形的向量空间理论。线性代数与微积分结合,使得微分方程线性系统的求解更加便利。线性代数的理论已被泛化为。 线性代数的方法还用在解析几何、工程、物理、自然科学、計算機科學、计算机动画和社会科学(尤其是经济学)中。由于线性代数是一套完善的理论,非线性数学模型通常可以被近似为线性模型。.

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行列式

行列式(Determinant)是数学中的一個函數,将一个n \times n的矩陣A映射到一個純量,记作\det(A)或|A|。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说,在n 维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现线性自同态和向量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个交替多线性形式,这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。.

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谱定理

数学上,特别是线性代数和泛函分析中,谱定理是关于线性算子或者矩阵的一些结果。泛泛来讲,谱定理给出了算子或者矩阵可以对角化的条件(也就是可以在某个基底中用对角矩阵来表示)。对角化的概念在有限维空间中比较直接,但是对于无穷维空间中的算子需要作一些修改。通常,谱定理辨认出一族可以用乘法算子来代表的线性算子,这是可以找到的最简单的情况了。用更抽象的语言来讲,谱定理是关于交换C*-代数的命题。参看谱分析中的历史观点。 可以应用谱定理的例子有希尔伯特空间上的自伴算子或者更一般的正规算子。 谱定理也提供了一个算子所作用的向量空间的标准分解,称为谱分解,特征值分解,或者特征分解。 本条目中,主要考虑谱定理的简单情况,也就是希尔伯特空间上的自伴算子。但是,如上文所述,谱定理也对希尔伯特空间上的正规算子成立。.

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在线性代数中,一個n \times n的矩陣\mathbf的跡(或跡數),是指\mathbf的主對角線(從左上方至右下方的對角線)上各個元素的總和,一般記作\operatorname(\mathbf)或\operatorname(\mathbf): 其中\mathbf_代表矩陣的第i行j列上的元素的值。一個矩陣的跡是其特徵值的總和(按代數重數計算)。 跡的英文為trace,是來自德文中的Spur這個單字(與英文中的Spoor是同源詞),在數學中,通常簡寫為「Sp」或「tr」。.

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转置矩阵

在线性代数中,矩阵A的转置是另一个矩阵AT(也写做Atr, tA或A′)由下列等价动作建立.

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辛矩陣

在數學中,辛矩阵是指一個2n \times 2n的矩阵M(通常佈於實數或複數域上),使之滿足 其中M^T表M的轉置矩陣,而\Omega是一個固定的可逆斜對稱矩陣;這類矩陣在適當的變化後皆能表為 \begin 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end 或 \begin0 & 1\\ -1 & 0\end & & 0 \\ 0 & & \begin0 & 1 \\ -1 & 0\end \end 兩者的差異僅在於基的置換,其中I_n是n \times n 單位矩陣。此外,\Omega 行列式值等於一,且其逆矩陣等於-\Omega。.

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连通空间

拓扑空间X称为是连通的。当且仅当以下叙述之一成立:.

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酉矩阵

若一n行n列的複数矩阵U满足 其中I_n\,为n阶单位矩阵,U^\dagger \,为U的共轭转置,则U称为--(又译作--、--。英文:Unitary Matrix, Unitary是歸一或單位的意思)。即,矩阵U为酉矩阵,当且仅当其共轭转置U^\dagger \,为其逆矩阵: 若酉矩阵的元素都是实数,其即为正交矩阵。与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似, 酉矩阵U不改变两个复向量的内积: 若U \,为n阶方阵,则下列条件等价:.

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雅可比矩阵

在向量分析中,雅可比矩阵是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵,其行列式称为雅可比行列式。 在代数几何中,代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇:伴随该曲线的一个代數群,曲线可以嵌入其中。 它们全部都以数学家卡爾·雅可比命名。.

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李代數

数学上,李代数是一个代数结构,主要用于研究象李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”(以索菲斯·李命名)一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中,无穷小群指的就是李代数。.

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李群

數學中,李群(Lie group,)是具有群结构的光滑微分流形,其群作用與微分结构相容。李群的名字源於索菲斯·李的姓氏,以其為連續變換群奠定基礎。1893年,法文名詞groupes de Lie首次出現在李的學生Arthur Tresse的論文第三頁中。.

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正交矩阵

在矩阵论中,正交矩阵(orthogonal matrix)是一個方块矩阵Q,其元素為实数,而且行與列皆為正交的单位向量,使得該矩陣的转置矩阵為其逆矩阵: 其中,I為單位矩陣。正交矩陣的行列式值必定為+1或-1,因為: 底下是一些重要的性質:.

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正交群

数学上,数域F上的n阶正交群,记作O(n,F),是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群,由 这里QT是Q的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(n)。 更一般地,F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。 每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的n×n正交矩阵组成一个O(n,F)的正规子群,称为特殊正交群SO(n,F)。如果F的特征为2,那么1.

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正规矩阵

在数学中,正规矩阵 \mathbf是与自己的共轭转置交换的复系数方块矩阵,也就是说, \mathbf满足 其中\mathbf^*是\mathbf的共轭转置。 如果\mathbf是实系数矩阵,则\mathbf^*.

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指数映射

指數映射(Exponential map)可指.

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方块矩阵

方塊矩陣,或简称方阵,是行數及列數皆相同的矩陣。由n \times n\,矩陣組成的集合,連同矩陣加法和矩陣乘法,构成環。除了n.

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反对称矩阵斜对称斜對稱矩陣

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