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37 关系: 加法，可计算函数，可计算性理论，多元组，复合函数，子集，定义域，判定器，哥德尔数，函数，公理，元数，图灵完全，图灵机，皮亚诺公理，素数，階乘，計算複雜性理論，运算，阿克曼函數，邱奇-图灵论题，自然数，递归，递归可枚举集合，递归函数，除法，Μ算子，PR (複雜度)，恆等函數，条件，減法，指示函数，指数，有理数，斯蒂芬·科尔·克莱尼，数学归纳法，数论。
加法
加法是基本的算术運算。加法即是將二個以上的數，合成一個數，其結果称為和。加法與減、乘、除合稱「四則運算」。 表達加法的符號為加號（+）。進行加法時以加號將各項連接起來。把和放在等號（.
可计算函数
在可计算性理论中，可计算函数（computable function）或图灵可计算函数是研究的基本对象。它们使我们直觉上的算法概念更加精确。使用可计算函数来讨论可计算性而不提及任何具体的计算模型，如图灵机或寄存器机。但是它们的定义必须提及某种特殊的计算模型。 在可计算函数的精确定义之前，数学家经常使用非正式术语可有效计算的。这个术语因此可以被认同为可计算函数。尽管这些函数被叫做有效的，它们可能极其困难。可行可计算性和计算复杂性研究可有效计算的函数。 依据邱奇-图灵论题，可计算函数精确的是使用给出无限数量的时间和存储空间的机器计算设备来计算的函数。等价的说，这个论题声称有算法的任何函数都是可计算的。 可以使用Blum公理来在可计算函数的集合上定义抽象计算复杂性理论。在计算复杂性理论中，确定一个可计算函数的复杂性的问题叫做功能性问题。.
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可计算性理论
在计算机科学中，可计算性理论（Computability theory）作为计算理论的一个分支，研究在不同的计算模型下哪些算法问题能够被解决。相对应的，计算理论的另一块主要内容，计算复杂性理论考虑一个问题怎样才能被有效的解决。.
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多元组
多元組泛指有限個元素所組成的序列。在數學上及計算機科學上分別有其特殊的意義。 数学上，n元组或多元组是对象个数有限的序列。元组由三部分组成：边界符、分隔符和元素。通常采用的边界符是小括号“(\)”，分隔符是逗号。 多元组被数学家用来描述包含特定部件的数学对象。例如，有向图被定义成一个二元组（V, E），这里V是节点的集合，E是V × V的子集，表示边。 在類型論中，多元組與重類別相關。.
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复合函数
在数学领域，两个函数的复合函数指一个将第一个函数作用于参数，然后再将第二个函数作用于所得结果的函数。 具体来说，给定两个函数f: X → Y和g: Y → Z，其中f的陪域等于g的定义域（称为f、g可复合），则其复合函数h.
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子集
子集，為某個集合中一部分的集合，故亦稱部分集合。 若A和B为集合，且A的所有元素都是B的元素，则有：.
定义域
定义域（Domain），是函数自变量所有可取值的集合。给定函数f:A\rightarrow B，其中A被称为是f的定义域，记作D_。f映射到陪域中的所有值的集合称为f的值域，记作f(A)或R_。 例如，函数f(x).
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判定器
在可计算性理论中，总是停机的机器也叫做判定器（Sipser，1996年）或全图灵机（Kozen，1997年）是对所有输入总是停机的图灵机。 因为它总是停机，这个机器有能力判定给定字符串是否是一个形式语言的成员。可由这种机器判定的语言类精确的是递归语言的集合。但是由于停机问题，判定任意图灵机是否在任意输入上停机的问题自身是不可判定的判定问题(參見哥德爾不完備定理)。.
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哥德尔数
在形式数论中，哥德尔编号是对某些形式语言的每个符号和公式指派一个叫做哥德尔数(GN)的唯一的自然数的函数。这个概念是哥德尔为证明他的哥德尔不完备定理而引入的。 可计算函数集合的编号有时叫做哥德尔编号或有效编号。哥德尔编号可以被解释为一个编程语言，带有指派哥德尔数到每个可计算函数作为在这种编程语言中计算这个函数的值的程序。Roger 等价定理特征化了是哥德尔编号的可计算函数集合的编号。.
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函数
函數在數學中為兩集合間的一種對應關係：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x2的關係就是一個函數，若以3作為此函數的輸入值，所得的輸出值便是9。 為方便起見，一般做法是以符號f,g,h等等來指代一個函數。若函數f以x作為輸入值，則其輸出值一般寫作f(x)，讀作f of x。上述的平方函數關係寫成數學式記為f(x).
公理
在傳統邏輯中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關係毕竟不能無限地追溯，而需停止於無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如「a+b.
元数
在邏輯、數學及電腦科學裡，函數或運算的元數是指所需的參數或運算元的數量。關係的元數則是指其對應之笛卡兒積的維度。 元數主要用在下面類型的函數之中：f: V → S，其中的V ⊂ Sn，且S是某個集合。此類函數通常稱為在S上的「運算」，且稱n是這個運算的元數。.
图灵完全
#重定向 圖靈完備性.
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图灵机
图灵机（），又称确定型图灵机，是英国数学家艾倫·图灵于1936年提出的一种抽象计算模型，其更抽象的意义为一种数学逻辑机，可以看作等价于任何有限逻辑数学过程的终极强大逻辑机器。.
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皮亚诺公理
亚诺公理（Peano axioms），也称皮亚诺公设，是意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。.
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素数
質--數（Prime number），又称素--数，指在大於1的自然数中，除了1和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合數。例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。而6則是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正因數。算術基本定理確立了質數於數論裡的核心地位：任何大於1的整數均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是質數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解）。 古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在（欧几里得定理）。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中試除法比較簡單，但需時較長：設被測試的自然數為n，使用此方法者需逐一測試2與\sqrt之間的整數，確保它們無一能整除n。對於較大或一些具特別形式（如梅森數）的自然數，人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數（例如277232917-1是直至2017年底為止已知最大的梅森質數）。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式，但已建構了質數的分佈模式（亦即質數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的質數定理指出：一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位（或n的對數）。 許多有關質數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生質數猜想（存在無窮多對相差2的質數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念，主要出現在代數裡，如質元素及質理想。.
階乘
一个正整数的階乘（factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，并且有0的阶乘为1。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。 亦即n!.
計算複雜性理論
计算复杂性理论（Computational complexity theory）是理论计算机科学和数学的一个分支，它致力于将可计算问题根据它们本身的复杂性分类，以及将这些类别联系起来。一个可计算问题被认为是一个原则上可以用计算机解决的问题，亦即这个问题可以用一系列机械的数学步骤解决，例如算法。 如果一个问题的求解需要相当多的资源（无论用什么算法），则被认为是难解的。计算复杂性理论通过引入数学计算模型来研究这些问题以及定量计算解决问题所需的资源（时间和空间），从而将资源的确定方法正式化了。其他复杂性测度同样被运用，比如通信量（应用于通信复杂性），电路中门的数量（应用于电路复杂性）以及中央处理器的数量（应用于并行计算）。计算复杂性理论的一个作用就是确定一个能或不能被计算机求解的问题的所具有的实际限制。 在理论计算机科学领域，与此相关的概念有算法分析和可计算性理论。两者之间一个关键的区别是前者致力于分析用一个确定的算法来求解一个问题所需的资源量，而后者则是在更广泛意义上研究用所有可能的算法来解决相同问题。更精确地说，它尝试将问题分成能或不能在现有的适当受限的资源条件下解决这两类。相应地，在现有资源条件下的限制正是区分计算复杂性理论和可计算性理论的一个重要指标：后者关心的是何种问题原则上可以用算法解决。.
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运算
数学上，运算（Operation）是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量。例如，算术中的加法6+3.
阿克曼函數
阿克曼函數是非原始递归函数的例子；它需要兩個自然數作為輸入值，輸出一個自然數。它的輸出值增長速度非常高。.
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邱奇-图灵论题
#重定向 邱奇－图灵论题.
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自然数
数学中，自然数指用于计数（如「桌子上有三个苹果」）和定序（如「国内第三大城市」）的数字。用于计数时称之为基数，用于定序时称之为序数。 自然数的定义不一，可以指正整数 (1, 2, 3, 4, \ldots)，亦可以指非负整数 (0, 1, 2, 3, 4, \ldots)。前者多在数论中使用，后者多在集合论和计算机科学中使用，也是 标准中所采用的定义。 数学家一般以\mathbb代表以自然数组成的集合。自然数集是一個可數的，無上界的無窮集合。.
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递归
递归（Recursion），又译为--，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法。递归一词还较常用于描述以自相似方法重复事物的过程。例如，当两面镜子相互之间近似平行时，镜中嵌套的图像是以无限递归的形式出现的。也可以理解为自我复制的过程。.
递归可枚举集合
递归可枚举集合（Recursively enumerable set）是可计算性理论或更狭义的递归论中的一个概念。可数集合S被称为是递归可枚举、计算可枚举的、半可判定的或可证明的，如果.
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递归函数
在数理逻辑和计算机科学中，递归函数或μ-递归函数是一类从自然数到自然数的函数。直觉上递归函数是"可计算的"。事实上在可计算性理论中已经证明了它确实是图灵机的可计算函数。递归函数与原始递归函数相关，而且递归函数的归纳定义（见下）建立在原始递归函数之上。但不是所有递归函数都是原始递归函数——其中最著名的是阿克曼函数。 其他等价的函数类是λ-递归函数和马尔可夫算法可计算的函数。 所有递归函数的集合叫做R。.
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除法
数学中，尤其是在基本计算裏，除法可以看成是「乘法的反运算」，也可以理解为「重复的减法」。除法运算的本质就是「把参与运算的除数变为1，得出被除数的值」。 例如：6 \div 3.
Μ算子
μ算子（μ operator）或者极小化算子（minimization operator），无界查找算子（unbounded search operator）在可计算性理论中，被用來尋找给定性质下的最小自然数。.
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PR (複雜度)
PR 是包含所有原始遞歸函數 – 或者換句話說，所有能被這類函數定義的形式語言，這包含了加法，乘法，指數，以及迭代冪次等等。 阿克曼函數則是一個並非 原始遞歸函數的範例，告訴我們R包含但不等同(strictly contain，或者說嚴格包含)PR。 PR 函數可以被獨立的列舉，而並非所有R裡面的函數皆可。這告訴我們'PR'有一個語意的定義，但是R則沒有。 另一方面，我們可以用下列的概念去使用原始遞歸函數"列舉"任何的遞歸可枚舉集合 (參見另一個複雜度類RE)：給定輸入 (M, k)，M是一個圖靈機而k是一個正整數，如果M會在k步以內停止則輸出M；否則就甚麼都不輸出。然後，這裡輸出的聯集，也就是(M, k)這些組合所有可能的輸出，恰好是會停止的M的集合。 PR 包含但不等於ELEMENTARY。.
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恆等函數
在數學裡，恆等函數總是傳回和其輸入值相同的函數值。換句話說，恆等函數為函數f(x).
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条件
条件可以指：.
減法
減法是尋找兩個數的差的算术運算，可視為「加法的逆運算」。減法是符號是減號（-）。加、減、乘、除合稱四則運算。 在數式5 - 3.
指示函数
在集合論中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。 。现在已经少用这一称呼。概率论有另一意思迥异的特征函数。 集X的子集A的指示函数是函数1_A: X \to \lbrace 0,1 \rbrace，定义为 |rowspan.
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指数
没有描述。
有理数
数学上，可以表达为两个整数比的数(a/b, b≠0)被定义为有理数，例如3/8，0.75(可被表达为3/4)。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是无理数，如\sqrt无法用整数比表示。 有理数与分數的区别，分數是一种表示比值的记法，如 分數\sqrt/2 是无理数。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或\mathbb。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。.
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斯蒂芬·科尔·克莱尼
斯蒂芬·科尔·克莱尼（Stephen Cole Kleene，）美國數學家、逻辑學家，主要从事對可計算函數的研究，而他的遞歸理論研究有助於奠定理論電腦科學的基礎。他為數學直覺主義的基礎做出了重要貢獻，克莱尼層次結構、克莱尼代数、克莱尼星号（克莱尼閉包）、克莱尼遞歸定理和克莱尼不動點定理數學概念以他的名字命名。他也是正規表示法的發明者。.
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数学归纳法
数学归纳法（Mathematical Induction、MI、ID）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。 虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事實上，所有數學證明都是演繹法。.
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数论
數論是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性質。被譽為「最純」的數學領域。 正整数按乘法性质划分，可以分成質数，合数，1，質数產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數猜想等，即。很多問題虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。 整数可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。 數論早期稱為算術。到20世紀初，才開始使用數論的名稱，而算術一詞則表示「基本運算」，不過在20世紀的後半，有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。1952年時數學家Harold Davenport仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」。 卡尔·弗里德里希·高斯曾說：「數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。.
