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三次函數

指数 三次函數

三次函數是以下形式的多項式函数 其中不為零。 若令,可以得到三次方程 此方程的解即為多項式的根。若所有的系数、、和,都是实数,則此方程至少會有一個實數根(這對所有奇數的多項式都成立)。三次函數的所有解都可以用代數函數來表示(這對二次函数、四次函數也都成立,但根據阿贝尔-鲁菲尼定理,更高次數的多項式一般來說沒有此特性)。利用三角函數也可以表示出函數的解。此方程的數值解可以用像牛顿法之類的求根算法求得。 三次函數的係數不一定要是複數。三次函數的許多特性,只要係數域的特征為0或是大於就會成立。三次方程的解不一定會和系數同一個域,例如有理系數三次方程的解可能是無理數、甚至是非實數的複數。.

21 关系: 域 (數學)多項式复数 (数学)实数三角学三次平面曲线三次方程二次函数代数方程代數函數函数四次函數系数特征 (代数)牛顿法阿贝尔-鲁菲尼定理MacTutor数学史档案样条函数根 (数学)求根算法数值分析

域 (數學)

在抽象代数中,域(Field)是一种可進行加、減、乘和除(除了除以零之外,「零」即加法單位元素)運算的代數結構。域的概念是数域以及四则运算的推广。 域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素(除零元素之外)可以进行除法运算,这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。體中的運算关于乘法是可交换的。若乘法運算沒有要求可交換則稱為除環(division ring)或skew field。.

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多項式

多项式(Polynomial)是代数学中的基础概念,是由称为未知数的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。多项式是整式的一种。未知数只有一个的多项式称为一元多项式;例如x^2-3x+4就是一个一元多项式。未知数不止一个的多项式称为多元多项式,例如就是一個三元多项式。 可以写成只由一项构成的多项式也称为单项式。如果一项中不含未知数,则称之为常数项。 多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学以及工程学中都有重要作用。.

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复数 (数学)

複數,為實數的延伸,它使任一多項式方程式都有根。複數當中有個「虛數單位」i,它是-1的一个平方根,即i ^2.

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实数

实数,是有理數和無理數的总称,前者如0、-4、81/7;后者如\sqrt、\pi等。实数可以直观地看作小數(有限或無限的),它們能把数轴「填滿」。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。实数和虚数共同构成复数。 根据日常经验,有理數集在數軸上似乎是「稠密」的,于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1公分的正方形為例,其對角線有多長?在規定的精度下(比如誤差小於0.001公分),總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果(比如1.414公分)。但是,古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現,只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度,這徹底地打擊了他們的數學理念;他們原以為:.

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三角学

三角学是數學的一個分支,主要研究三角形,以及三角形中边与角之间的关系。三角学定義了三角函數,可以描述三角形边与角的关系,而且都是周期函数,可以用來描述周期性的現象。三角学在西元前三世紀時開始發展,最早是幾何學的一個分支,廣泛的用在天文量測中,三角学也是測量學的基礎。 三角学的基礎是平面三角学,研究平面上的三角形中边与角之间的关系,分为角的度量、三角函数与反三角函数、诱导公式、和与差的公式、倍角、半角公式、和差化积与积化和差公式、解三角形等内容,可能會是單獨的一個科目或是在预科微积分教授,三角函數在純數學及應用數學中的許多領域中出現,例如傅立葉分析及波函數等,是許多科技領域的基礎。 三角学也包括球面三角學,研究球面上,由大圓的弧所包圍成的球面三角形,位在曲率為正值常數的曲面上,是橢圓幾何的一部份,球面三角學是天文學及航海的基礎,也在测量学、制图学、结晶学、仪器学等方面有广泛的应用。負曲率曲面上的三角学則是雙曲幾何中的一部份。.

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三次平面曲线

三次平面曲线(cubic plane curve)是指用以下三次函數定義的平面代數曲線 C 針對射影平面會使用齐次坐标,或是在仿射空间中的非齊次版本,會令上述方程中的。F是以下三次的非零線性組合 共有十個單項,因此三次曲线會在給定的任意域K中形成九維的。。若指定九個任意的點,通過其上的三次曲线可能會退化,也可能不唯一,不過若這九個點是在一般位置上,通過其上的三次曲线唯一,且不會退化,就像二點決定一直線,以及一樣,若二條圓錐曲線通過相同的九個點,這些點會滿足一些特殊的條件,可參考。 牛頓曾研究三次曲線中的實數點。非奇異的投影三次曲線會落在一個或二個--卵形--內。其中一個卵形會和每一個實數投影曲線相交,因此若畫在二维空间中,此部份是沒有上界的,會有一個或三個一直延伸到無限大的分枝,其中也會有三個實數的反曲點。另一個卵形若存在,不會包括任何的反曲點,會是一個卵形或是有二個延伸到無限大分枝的圖形。就像圆锥曲线一樣,一條直線和這個卵形最多只會有二個交點。 任意的域K上,非奇異的投影三次曲線可定義椭圆曲线現今對椭圆曲线的研究主要是以魏爾斯特拉斯橢圓函數的變體的主,可以定義一個有理函數域的,做法是將三次曲線的平方根取出。這也和是否存在K-有關,在魏爾斯特拉斯型式下是无穷远点,有許多的三次曲線沒有這様的點,例如像K是有理数域的情形。 不可化簡三次曲線的奇異點只有幾種:一個二重點或是一個尖點。可化簡三次曲線可能是一個圓錐曲線和一條直線,或是三條直線,可能會有二個二重點或是一個(一個圓錐曲線和一條直線的情形),若是三條直線,也可能有三個二重點,或是一個三重點()。.

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三次方程

三次方程是未知项總次数最高为3的整式方程,一元三次方程一般形式為 其中\ a, \ b,\ c和\ d (a \neq 0)是屬於一個域的數字,通常這個域為R或C。 本條目只解釋一元三次方程,而且簡稱之為三次方程。.

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二次函数

在数学中,二次函数(英語:quadratic function)表示形为f(x).

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代数方程

代数方程是未知数和常数进行有限次代数运算所组成的方程。代数方程包括有理方程和无理方程。有理方程又包括整式方程与分式方程。整式方程,就是所谓的“多项式方程”。.

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代數函數

代數函數是指只包含常数与自变量相互之间有限次的加、減、乘、除、有理指数幂和開方六种运算的函數。非代數函數則稱為超越函數。.

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函数

函數在數學中為兩集合間的一種對應關係:輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x2的關係就是一個函數,若以3作為此函數的輸入值,所得的輸出值便是9。 為方便起見,一般做法是以符號f,g,h等等來指代一個函數。若函數f以x作為輸入值,則其輸出值一般寫作f(x),讀作f of x。上述的平方函數關係寫成數學式記為f(x).

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四次函數

在数学中,四次函数(英文:quartic function)表示形为f(x).

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系数

在数学中,系数是在某个表达式中作为某个对象的乘法因数的常数。比如说,9x2中的系数是9。 拥有系数的对象可以各种各样,比如说变量、函数、向量或者矩阵。有的时候系数似乎没有对象,比如说堅尼係數,实际上是因为对应的对象过于生僻而没有列出。在某些情况下,系数会被标上上标或下标,以示区分,如下式中: 为了与xn协调,an 是一个带有下标的系数,n.

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特征 (代数)

在数学中,环R的特征被定义为最小的正整数n使得 这里的na被定义为 如果不存在这样的n,R的特征被定义为0。R的特征经常指示为char(R)。 环R的特征可以等价的定义为唯一的自然数n使得nZ是映射1到1R的从Z到R的唯一的环同态的核。另一个等价的定义:R的特征是唯一的自然数n使得R包含同构于商环Z/nZ的子环。.

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牛顿法

牛顿法(Newton's method)又称为牛顿-拉弗森方法(Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(y).

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阿贝尔-鲁菲尼定理

阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。它指出,五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式,即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。这个定理以保罗·鲁菲尼和尼尔斯·阿贝尔命名。前者在1799年给出了一个不完整的证明,后者则在1824年给出了完整的证明。埃瓦里斯特·伽罗瓦创造了群论,独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法,并给出了定理的证明,但直到他死後的1846年才得以发表。.

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MacTutor数学史档案

MacTutor數學史檔案是一個曾獲獎的數學史網站,架於蘇格蘭圣安德鲁斯大学,目前由John J. O'Connor與Edmund F. Robertson維護。此網站包含許多古代與當代數學家的詳細傳記、各著名曲線的資訊以及數學史各主題簡介。.

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样条函数

在数学学科数值分析中,样条是一种特殊的函数,由多项式分段定义。样条的英语单词spline来源于可变形的样条工具,那是一种在造船和工程制图时用来画出光滑形状的工具。在中国大陆,早期曾经被称做“齿函数”。后来因为工程学术语中“放样”一词而得名。 在插值问题中,样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果,并且可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。 在计算机科学的计算机辅助设计和计算机图形学中,样条通常是指分段定义的多项式参数曲线。由于样条构造简单,使用方便,拟合准确,并能近似曲线拟合和交互式曲线设计中复杂的形状,样条是这些领域中曲线的常用表示方法。.

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根 (数学)

數學上,函數f的一個根(或稱零點)是f的定義域D中適合f(x).

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求根算法

在數學和電腦運算中,對於一個已知的從實數集合映射到實數集合,或者從複數集合映射到複數集合的連續函數f(x),搜索變量x使得f(x).

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数值分析

数值分析(numerical analysis),是指在数学分析(区别于离散数学)问题中,对使用数值近似(相对于一般化的符号运算)算法的研究。 巴比伦泥板YBC 7289是关于数值分析的最早数学作品之一,它给出了 \sqrt 在六十进制下的一个数值逼近,\sqrt是一個邊長為1的正方形的對角線,在西元前1800年巴比倫人也已在巴比倫泥板上計算勾股數(畢氏三元數)(3, 4, 5),即直角三角形的三邊長比。 数值分析延續了實務上數學計算的傳統。巴比倫人利用巴比伦泥板計算\sqrt的近似值,而不是精確值。在許多實務的問題中,精確值往往無法求得,或是無法用有理數表示(如\sqrt)。数值分析的目的不在求出正確的答案,而是在其誤差在一合理範圍的條件下找到近似解。 在所有工程及科學的領域中都會用到数值分析。像天體力學研究中會用到常微分方程,最優化會用在资产组合管理中,數值線性代數是資料分析中重要的一部份,而隨機微分方程及馬可夫鏈是在醫藥或生物學中生物細胞模擬的基礎。 在電腦發明之前,数值分析主要是依靠大型的函數表及人工的內插法,但在二十世紀中被電腦的計算所取代。不過電腦的內插演算法仍然是数值分析軟體中重要的一部份。.

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