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熱傳導方程式

指数 熱傳導方程式

熱傳導方程式(或稱熱方程)是一個重要的偏微分方程,它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。.

25 关系: 偏微分方程叠加原理发展方程威克轉動工程学平均曲率微分方程傅立葉數克兰克-尼科尔森方法等温技术热能的扩散热核狄拉克δ函数適定性問題菲克定律非等向性擴散高斯金字塔计算物理学调和函数阿蒂亞-辛格指標定理Θ函數抛物偏微分方程有限差分法拉普拉斯算子拉普拉斯方程

偏微分方程

偏微分方程(partial differential equation,缩写作PDE)指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函數及其偏导數之間的關係。符合這個關係的函数是方程的解。 偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式,常常有幾個解而且涉及額外的邊界條件。.

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叠加原理

在物理学与系统理论中,叠加原理(superposition principle),也叫叠加性质(superposition property),说对任何线性系统“在给定地点与时间,由两个或多个刺激产生的合成反应是由每个刺激单独产生的反应之代数和。” 从而如果输入 A 产生反应 X,输入 B 产生 Y,则输入 A+B 产生反应 (X+Y)。 用数学的话讲,对所有线性系统 F(x).

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发展方程

发展方程(Evolution equation)是應用數學的一種偏微分方程,主要分為以下三類:.

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威克轉動

物理學中,威克轉動(Wick rotation)是一個找尋解的方法,將閔可夫斯基空間中的問題轉到歐幾里得空間中,於其中求解,再逆轉回閔可夫斯基空間中。其所根據的是解析延拓(analytic continuation)。 其動機來自於對表達閔可夫斯基空間的度規所做的觀察,閔可夫斯基度規如下: 而四維歐幾里得度規為: 若允許座標t可以具有複數值,則兩者並無不同。當t被限制在虛數軸上時,閔可夫斯基度規變成了歐幾里得度規,反之亦然。若以閔可夫斯基空間中座標x,y,z,t表示一問題,然後將w.

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工程学

工程学、工程科学或工学,是通过研究与实践应用数学、自然科学、社会学等基础学科的知识,来达到改良各行业中现有建筑、机械、仪器、系统、材料、化學和加工步骤的设计和应用方式一门学科。实践与研究工程学的人叫做工程师。 在高等学府中,将自然科学原理应用至工业、农业、服务业等各个生产部门所形成的诸多工程学科也称为工科和工学。.

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平均曲率

在微分几何中,一个曲面 S 的平均曲率(mean curvature)H,是一个“外在的”弯曲测量标准,局部地描述了一个曲面嵌入周围空间(比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间)的曲率。 这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。.

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微分方程

微分方程(Differential equation,DE)是一種數學方程,用來描述某一類函数與其导数之间的关系。微分方程的解是一個符合方程的函數。而在初等数学的代数方程裡,其解是常数值。 微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题 。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题,如空气的阻力為速度函數的落体运动等问题,很多可以用微分方程求解。此外,微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。 数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向,但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解,仍然可以确认其解的部份性质。在无法求得解析解时,可以利用数值分析的方式,利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析,而许多数值方法可以计算微分方程的数值解,且有一定的准确度。.

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傅立葉數

傅立葉數(Fourier number;Fo)在物理學及工程學領域是一個用來描述非穩態熱傳導及分子擴散的無因次量。以約瑟夫·傅立葉之名命名。概念上,它的物理意義是傳導或擴散輸送速率與熱量或質量儲存速率的比值,可視為無因次化的時間。本無因次量係由無因次化的熱傳導方程式或者菲克第二定律所推導而來的,並與畢奧數一同被應用於分析非穩態(時間相關)的輸送現象。.

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克兰克-尼科尔森方法

克兰克-尼科尔森方法是一種数值分析的有限差分法,可用于数值求解热方程以及类似形式的偏微分方程。它在时间方向上是的二阶方法,可以寫成隐式的龍格-庫塔法,数值稳定。该方法诞生于20世纪,由与发展。 可以证明克兰克-尼科尔森方法对于扩散方程(以及许多其他方程)是无条件稳定。但是,如果时间步长Δ乘以熱擴散率,再除以空间步长平方Δ的值过大(根據馮諾依曼穩定性分析,以大于1/2為準),近似解中将存在虚假的振荡或衰减。基于这个原因,当要求大时间步或高空间分辨率的时候,往往会采用数值精确较差的进行计算,这样即可以保证稳定,又避免了解的伪振荡。.

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等温技术

等溫技術(Isothermal Technology)是指高热传导介质以热波热共振传热的方式,使得傳熱元器件或物质,其熱能的輸入端與輸出端即時實現無溫差現象,亦即熱阻為零的熱傳递技術。.

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热能的扩散

#重定向 熱傳導方程式.

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热核

热核(heat kernel)在数学中是指热方程的基本解。其也是拉普拉斯算子谱分析中的重要工具之一。对于固定边界的区域,当边界温度给定、并于t.

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狄拉克δ函数

在科學和數學中,狄拉克函數或簡稱函數(譯名德爾塔函數、得耳他函數)是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零,且其在整個定義域上的積分等於1。函數有時可看作是在原點處无限高、无限细,但是总面积为1的一個尖峰,在物理上代表了理想化的質點或点电荷的密度。 從純數學的觀點來看,狄拉克函數並非嚴格意義上的函數,因為任何在擴展實數線上定義的函數,如果在一個點以外的地方都等於零,其總積分必須為零。函數只有在出現在積分以內的時候才有實質的意義。根據這一點,函數一般可以當做普通函數一樣使用。它形式上所遵守的規則屬於的一部分,是物理學和工程學的標準工具。包括函數在內的運算微積分方法,在20世紀初受到數學家的質疑,直到1950年代洛朗·施瓦茨才發展出一套令人滿意的嚴謹理論。嚴謹地來說,函數必須定義為一個分佈,對應於支撐集為原點的概率測度。在許多應用中,均將視為由在原點處有尖峰的函數所組成的序列的極限(),而序列中的函數則可作為對函數的近似。 在訊號處理上,函數常稱為單位脈衝符號或單位脈衝函數。δ函數是對應於狄拉克函數的離散函數,其定義域為離散集,值域可以是0或者1。.

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適定性問題

數學術語適定性問題來自於哈達瑪所給出的定義。他認為物理現象中的數學模型應該具備下述性質:.

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菲克定律

菲克定律描述擴散作用,可以使用這條定律來求得擴散係數,D。定律由阿道夫·菲克於1855年推導出來。.

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非等向性擴散

在影像處理及電腦視覺領域中,Anistropic Diffusion(非等向性擴散)是一項用來減少影像雜訊但卻不會影響到影像中較重要成分的技術,像是邊界、線條或者影像中較明顯的細節。一般影像擴散處理是將原始影像與二維高斯濾波器進行卷積,這種擴散處理是線性且具有空間不變性的轉換。而非等向性擴散處理則是會根據影像產生區域性的濾波器,再將原始影像與產生的濾波器進行卷積,所以非等向性擴散是一種非線性且不具有空間不變性的轉換。 Perona和Malik在1987年提出不具有空間不變性的濾波器時,其原始的概念是等向性擴散但會根據影像內容產生不同的濾波器,這也使得在靠近邊界的區域其產生的濾波器會很類似狄拉克δ函數,讓邊界及影像中較重要的結構能夠在經過擴散處理後還能保留下來。而當初Perona和Malik稱之為非等向性擴散,即使其產生的區域性濾波器是具有等向性的,而當時這種處理又被稱為不均勻擴散、非線性擴散及Perona-Malik擴散。而實際上的非等向性擴散則是根據邊界及結構的方向而產生非等向性的區域性濾波器,這種方法又被稱為shape-adapted smoothing或coherence enhancing diffusion。其產生的影像可以同時進行平滑化並保留原本影像的結構,而這類方法所使用的擴散方程式通常是根據在原始影像中的位置及原始影像的像素值所產生。 雖然其結果是由原始影像及區域性濾波器卷積所產生,但實際應用上這樣會需要大量的運算,所以通常會用近似法來進行加速,也就是說每一張新的影像是由上一張產生的影像套用非等向性擴散所產生。整體來說,非等向性擴散是一種疊代性的處理,其產生的結果會越來越平滑直到達到所需要的結果。.

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高斯金字塔

斯金字塔(英文:Gaussian Pyramid)為在圖像處理、計算機視覺、信號處理上所使用的一項技術。 高斯金字塔本質上為信號的多尺度表示法,亦即將同一信號或圖片多次的進行高斯模糊,並且向下取樣, 藉以產生不同尺度下的多組信號或圖片以進行後續的處理,例如在影像辨識上,可以藉由比對不同尺度下的圖片,以防止要尋找的內容可能在圖片上有不同的大小。 高斯金字塔的理論基礎為尺度空間理論,而後續也衍生出了多解析度分析。.

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计算物理学

計算物理學()是研究如何使用數值方法分析可以量化的物理学問題的学科。 历史上,计算物理学是计算机的第一项应用;目前计算物理学被视为计算科学的分支。 计算物理有时也被视为理论物理的分支学科或子问题,但也有人认为计算物理与理论物理与实验物理联系紧密,又相对独立,是物理学第三大分支《计算物理学》 刘金远等 科学出版社 ISBN 978-7-03-034793-0。.

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调和函数

在数学、数学物理学以及随机过程理论中,都有调和函数的概念。一个调和函数是一个二阶连续可导的函数f: U → R(其中U是Rn里的一个开子集),其满足拉普拉斯方程,即在U上满足方程: \frac + \frac + \cdots + \frac.

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阿蒂亞-辛格指標定理

在數學中,阿蒂亞-辛格指標定理斷言:對於緊流形上的橢圓偏微分算子,其解析指標(與解空間的維度相關)等於拓撲指標(決定於流形的拓撲性狀)。它涵攝了微分幾何中許多大定理,在理論物理學中亦有應用。 此定理由邁克爾·阿蒂亞與艾沙道尔·辛格於1963年證出。.

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Θ函數

數學中,Θ函數是一種多複變特殊函數。其應用包括阿貝爾簇與模空間、二次形式、孤立子理論;其格拉斯曼代數推廣亦出現於量子場論,尤其於超弦與D-膜理論。 Θ函數最常見於椭圓函數理論。相對於其「z」 變量,Θ函數是拟周期函数(quasiperiodic function),具有「擬周期性」。在一般下降理論(descent theory)中,此來自線叢條件。.

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抛物偏微分方程

抛物型偏微分方程是一类二阶偏微分方程,描述自然科学中广泛的问题,包括热能的扩散以及布莱克-斯科尔斯模型。这些问题,通常被称为演化问题。数学上,具有以下形式的偏微分方程 是抛物型的,如果它满足条件 这一定义与平面上的抛物线的定义是类似的。 一个简单的抛物型偏微分方程是一维的热传导方程, 其中u(t,x)是时间t时在x处的温度,k是常数。符号u_t表示对时间变量t的偏导数,同样的u_是对x的二阶偏导数。 这个方程的意思是说,在某个时间位置上的温度的变化速率正比于该点附近的平均温度与该点温度之差。 热传导方程的主要推广具有形式 其中L是椭圆微分算子。这一系统隐含在以下方程中 当矩阵函数a(x)具有一个维数为1的核。.

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有限差分法

在数学中,有限差分法(finite-difference methods,簡稱FDM),是一种微分方程数值方法,是通过有限差分來近似导數,从而寻求微分方程的近似解。.

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拉普拉斯算子

在數學以及物理中,拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符(Laplace operator, Laplacian)是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子,通常寫成 \Delta 、 \nabla^2 或 \nabla \cdot \nabla 。 這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯(1749–1827)而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子,当它被施加到一个给定的重力位(Gravitational potential)的时候,其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零∆f.

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拉普拉斯方程

拉普拉斯方程,又名调和方程、位势方程,是一种偏微分方程。因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、熱力學和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题,因为这种方程以势函数的形式描写了电場、引力場和流场等物理对象(一般统称为“保守场”或“有势场”)的性质。.

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