9 关系: 卡爾·弗里德里希·高斯,微分几何,紧空间,高斯曲率,黎曼流形,欧拉示性数,测地曲率,曲率,曲面。
卡爾·弗里德里希·高斯
约翰·卡爾·弗里德里希·高斯(Johann Karl Friedrich Gauß;), 德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,生于布伦瑞克,卒于哥廷根。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一Dunnington, G. Waldo.
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微分几何
微分幾何研究微分流形的幾何性質,是現代數學中一主流;是廣義相對論的基礎,與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。 古典微分几何起源于微积分,主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼,他在1854年创立了黎曼几何(实际上黎曼提出的是芬斯勒几何),这成为近代微分几何的主要内容,并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。.
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紧空间
在数学中,如果欧几里得空间Rn的子集是闭合的并且是有界的,那么称它是--的。例如,在R中,闭合单位区间是紧致的,但整数集合Z不是(它不是有界的),半开区间.
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高斯曲率
微分几何中,曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率κ1和κ2的乘积。它是曲率的内在度量,也即,它的值只依赖于曲面上的距离如何测量,而不是曲面如何嵌入到空间。这个结果是高斯绝妙定理的主要内容。 用符号表示,高斯曲率K定义为 也可以如下给出 其中\nabla_i.
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黎曼流形
黎曼流形(Riemannian manifold)是一個微分流形,其中每點p的切空間都定義了點積,而且其數值隨p平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度及向量域的散度。 每個Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量:把Rn的點積都限制於切空間內。實際上,根据纳什嵌入定理,所有黎曼流形都可以這樣产生。 我們可以定義黎曼流形為和Rn的平滑子流形是等距同构的度量空間,等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从Rn导出的度量是相同的。这對建立黎曼幾何是很有用的。 黎曼流形可以定义为平滑流形,其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間: 如果γ: → M是黎曼流形M中一段連續可微分的弧線,我們可以定義它的長度L(γ)為 (注意:γ'(t)是切空間M在γ(t)點的元素;||·||是切空間的內積所得出的範數。) 使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空間(甚至是長度度量空間):在x與y兩點之間的距離d(x, y)定義為: 虽然黎曼流形通常是弯曲的,“直線”的概念依然存在:那就是測地線。 在黎曼流形中,測地線完备的概念,和拓撲完备及度量完备是等价的:每个完备性都可以推出其他的完备性,这就是Hopf-Rinow定理的内容。.
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欧拉示性数
在代数拓扑中,欧拉示性数(Euler characteristic)是一个拓扑不变量(事实上,是同伦不变量),对于一大类拓扑空间有定义。它通常记作\chi。 二维拓扑多面体的欧拉示性数可以用以下公式计算: 其中V,E和F分别是点,边和面的个数。特别的有,对于所有和一个球面同胚的多面体,我们有 例如,对于立方体,我们有6 − 12 + 8.
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测地曲率
测地曲率:设P是曲線(C)上一点,\alpha是(C)在P点的单位切向量,\beta是主法向量,\gamma是副法向量。再设n是曲面S在P点的单位法向量。命\varepsilon.
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曲率
曲率,符号以Kappa:κ表示,是几何体不平坦程度的一种衡量。平坦对不同的几何体有不同的意義。 曲率半径,符号以Rho:ρ表示,是曲率的倒数,单位为米。.
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曲面
在数学(拓扑学)中,一个曲面(surface)是一个二维流形。三维空间中的例子有三维实心物体的边界。流体的表面,例如雨滴或肥皂泡是一种理想化的曲面。关于雪花的表面,它有很多精细的结构,超越了这个简单的数学定义。关于实际的曲面的资料,请参看表面张力,表面化学,曲面能量。.
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