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劍橋大學出版社
劍橋大學出版社（Cambridge University Press）隸屬於英國劍橋大學，成立於1534年，是世界上僅次於牛津大學出版社的第二大大學出版社。.
加法
加法是基本的算术運算。加法即是將二個以上的數，合成一個數，其結果称為和。加法與減、乘、除合稱「四則運算」。 表達加法的符號為加號（+）。進行加法時以加號將各項連接起來。把和放在等號（.
力学
力学是物理学的一个分支，主要研究能量和力以及它们与物体的平衡、变形或运动的关系。.
域 (數學)
在抽象代数中，域（Field）是一种可進行加、減、乘和除（除了除以零之外，「零」即加法單位元素）運算的代數結構。域的概念是数域以及四则运算的推广。 域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素（除零元素之外）可以进行除法运算，这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。體中的運算关于乘法是可交换的。若乘法運算沒有要求可交換則稱為除環（division ring）或skew field。.
基本群
在代數拓撲中，基本群（或稱龐加萊群）是一個重要的同倫不變量。帶點拓撲空間的基本群是所有從該點出發的環路的同倫等價類，群運算由環路的銜接給出。 基本群能用以研究兩個空間是否同胚，也能分類一個連通空間的覆疊空間（至多差一個同構）。 基本群的推廣之一是同倫群。.
埃利·嘉当
埃利·约瑟夫·嘉当（Élie Joseph Cartan，1869年4月9日─1951年5月6日），法国数学家，嘉當又譯卡當、卡坦。他在李群理论及其幾何应用方面奠定基础。他也对数学物理，微分几何、群论做出了重大贡献。.
埃瓦里斯特·伽罗瓦
埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois，，法語發音：），法国著名的数学家。在他还只有十几岁的时候，他就发现了n次多项式可以用根式解的充要条件，解决了长期困扰数学界的问题。他的工作为伽罗瓦理论（一个抽象代数的主要分支）以及伽罗瓦连接领域的研究奠定了基石。他是第一个使用「群」这一個数学术语来表示一组置换的人。與尼尔斯·阿贝尔並稱為現代群論的創始人。在路易·菲利普复辟的时期，他是一个激进的共和主义者，并因此被逮捕、坐牢。二十岁出狱后，他在一次幾近自殺的決鬥中逝世，引起種種揣測。.
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原根
在数论，特别是整除理论中，原根是一个很重要的概念。 對於两个正整数(a,m).
卡米尔·若尔当
里·埃内芒·卡米尔·若尔当（Marie Ennemond Camille Jordan，）是一个法国数学家，他以在群论中的奠基性贡献与富有影响的《分析教程Cours d'analyse》而著名。他出生于里昂，毕业于综合理工大学校。他的职业是工程师；后来他在综合理工大学校以及法兰西学院任教，他有选择古怪记号的名声。.
卡爾·弗里德里希·高斯
约翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Johann Karl Friedrich Gauß；）， 德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，生于布伦瑞克，卒于哥廷根。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一Dunnington, G. Waldo.
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南部-戈德斯通定理
#重定向 戈德斯通定理.
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单群
数学上的单群（Simple group）是指没有非平凡正规子群的群。任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。这个过程可以一直做下去。对于有限群，若尔当-赫尔德定理表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列（最多相差一个置换）。在2008年完成的有限單群分類工作是数学史上一个重要的里程碑。.
古希臘語
λληνικὴ γλῶττα |region.
可解群
在數學的歷史中，群論原本起源於對五次方程及更高次方程無一般的公式解之證明的找尋，最終随着伽羅瓦理论的提出而确立。可解群的概念產生於描述其根可以只用根式(平方根、立方根等等及其和與積)表示的多項式所对应的自同構群所擁有的性質。 一個群被稱為可解的，若它擁有一個其商群皆為阿貝爾群的正規列。或者等價地說，若其降正規列 之中，每一個子群都會是前一個的导群，且最後一個為G的當然子群。上述兩個定義是等價的，对一個群H及H的正規子群N，其商群H/N為可交換的若且唯若N包含著H(1)。 對於有限群，有一個等價的定義為：一可解群為一有著其商群皆為質數階的循環群之合成列的群。此一定義會等價是因為每一個簡單阿貝爾群都是有質數階的循環群。若爾當-赫爾德定理表示若一個合成列有此性質，則其循環群即會對應到某個體上的n個根。但此一定義的等價性並不必然於無限群中亦會成立：例如，因為每一個在加法下的整數群Z的非當然子群皆同構於Z本身，它不會有合成列，但是其有著唯一同構於Z的商群之正規列，證明了其確實是可解的。 和喬治·波里亞的格言「若有一個你無法算出的問題，則會有的你可以算出的較簡單的問題」相一致的，可解群通常在簡化有關一複雜的群的推測至一系列有著簡單結構－阿貝爾群的群的推測有著很有用的功用。.
可逆元
单位又被称为可逆元。在數學裡，於一(有单位的)環 R \,內的可逆元是指一 R \,的可逆元素，即一元素 u \,使得存在一於 R \,內的 v \,有下列性質： uv.
史瓦西度規
史瓦西度規（Schwarzschild metric），又稱史瓦西幾何、史瓦西解，是卡爾·史瓦西於1915年針對广义相对论的核心方程——愛因斯坦場方程式——关于球状物质分布的解。根據伯考夫定理（Birkhff`s theorem），史瓦西解可說是愛因斯坦方程最一般的真空解。這樣的解又可被稱作史瓦西黑洞，他所對應的幾何是一個是靜止不旋轉、不帶電荷之黑洞。在物理上他可以對應任何球對稱星球外部的的時空幾何。因此常常用於近似於不同旋轉緩慢(遠小於光速)的天體的重力場，例如恆星、行星等。 在史瓦西解中，只有一個刻劃該解的參數，可以看成是史瓦西黑洞的質量。因此某方面來說，一個史瓦西黑洞只能用他的質量來區別，兩質量相等的史瓦西黑洞在物理上是完全一樣的。史瓦西解有個很重要的超曲面叫做事件視界，在事件視界內發生的事件無法被事件視界外的觀測者觀測到。它並非任何物理上實際存在的介面，事實上，如果有一觀測者通過事件世界，他不會感受到任何異狀。但是一旦通過事件視界，觀測者將無法回到黑洞外部。 此外史瓦西解另一個重要的特徵是它包含了奇異點。在奇異點時空的曲率發散，古典的廣義相對論並不適用在奇異點上，故實如何在物理上詮釋奇異點並不明確。可能需要一個可以考慮量子效應的量子重力理論才能給出好的解釋。任何通過事件視界的類時(time-like)的觀測者都會碰到奇異點。.
双射
數學中，一個由集合X映射至集合Y的函數，若對每一在Y內的y，存在唯一一個在X內的x与其对应，則此函數為對射函數。 換句話說，f為雙射的若其為兩集合間的一一對應，亦即同時為單射和滿射。 例如，由整數集合\Z至\Z的函數\operatorname，其將每一個整數x連結至整數\operatorname(x).
同倫
在數學中，同倫（Homotopy）的概念在拓撲上描述了兩個對象間的「連續變化」。.
同构基本定理
同构基本定理或称同态基本定理，包含三个定理，在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。.
向量空间
向量空間是现代数学中的一个基本概念。是線性代數研究的基本对象。 向量空间的一个直观模型是向量几何，幾何上的向量及相关的運算即向量加法，標量乘法，以及对運算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空間”这个數學概念的直观形象。 在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。.
塞弗特－范坎彭定理
代數拓撲中的塞弗特－范坎彭（Seifert–van Kampen）定理，將一個拓撲空間的基本群，用覆蓋這空間的兩個開且路徑連通的子空間的基本群來表示。.
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多項式
多项式（Polynomial）是代数学中的基础概念，是由称为未知数的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。多项式是整式的一种。未知数只有一个的多项式称为一元多项式；例如x^2-3x+4就是一个一元多项式。未知数不止一个的多项式称为多元多项式，例如就是一個三元多项式。 可以写成只由一项构成的多项式也称为单项式。如果一项中不含未知数，则称之为常数项。 多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学以及工程学中都有重要作用。.
姜-泰勒效应
姜-泰勒效应（英文：Jahn-Teller effect，简称JTE），有时也被称为姜-泰勒变形，描述了基态时有多个简并态的非线性分子的电子云在某些情形下发生的构型形变。分子发生几何构型畸变的目的是降低简并度，从而稳定其中一个状态。姜-泰勒效应主要出现在金属的配合物中，特别是某些金属染料的着色过程。 为了消除简并，八面体配合物将会沿着轴向（也就是z轴）扭曲。这一现象发生在有d轨域的金属络合物中。而简并性是在电子占据不同简并的轨道却可能有相同或相近的能量时产生。 配体的作用类似路易斯碱，可以给金属提供电子，过渡金属通过d轨道和配体发生相互作用形成含d轨道的金属配合物。八面体配合物中，6个M－L键的长度相等。 八面体配合物中，5个d轨道可以分成两类，t2g（包括轨道 dxy, dzx 和 dxy）以及 eg （包括轨道 dz2 和 dx2-y2）。t2g 和 eg 轨道的能量分别是相同的（就是说 t2g 三个轨道的能量是相同的，eg 以此类推），其中 eg 轨道的能量比 t2g 轨道的要高一些。ΔO（配体场分裂参数）用于具体的能量差。在 ΔO 比电子成对能大的配合物中，电子倾向于成对，电子按能量从低到高的顺序占据d轨道。在这样一种低自旋的态中，t2g 轨道被占据满了后电子才会去占据 eg 轨道。而在高自旋配合物中，ΔO 比电子成对能小，eg 轨道中的每个轨道在 t2g 轨道中的任一个占满两个电子之前将分别占据一个电子。 在八面体配合物中，姜-泰勒效应在奇数个电子占据 eg 轨道时最常为被我们观察到。如，低自旋配合物中金属上的电子为7或9时（也就是 d7 和 d9）或有有一个单 eg 电子的高自旋配合物，d4。因此 d9 构型的Cu(II) 配合物常会出现姜-泰勒效应，比如本应为正八面体构型，但实际上为伸长（或缩短）八面体构型的 2+ 离子。 需要注意的是姜-泰勒效应并不能预测变形的方向，只能预测存在一个不稳定的构型。 在试验上，姜-泰勒效应可以通过无机化合物的紫外-可见光谱来研究和解释。 姜-泰勒效应在有机化学中也有应用。.
子群
假設(G, *)是一個群，若 H 是 G 的一個非空子集且同時 H 與相同的二元運算 * 亦構成一個群，則 (H, *) 稱為 (G, *) 的一個子群。參閱群論。 更精確地來說，若運算*在H的限制也是個在H上的群運算，则称H為G的子群。 一個群G的純子群是指一個子群H，其為G的純子集(即H ≠ G)。任一個群的當然群為只包含單位元素的子群。若H為G的子群，則G有時會被稱為H的「母群」。 相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當G為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群G有時會被標記成有序對(G,*)，通常用以強調其運算*當G帶有多重的代數或其他結構。 在下面的文章中，會使用省略掉*的常規，並將乘積a*b寫成ab。.
实数
实数，是有理數和無理數的总称，前者如0、-4、81/7；后者如\sqrt、\pi等。实数可以直观地看作小數（有限或無限的），它們能把数轴「填滿」。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。实数和虚数共同构成复数。 根据日常经验，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1公分的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001公分），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414公分）。但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為：.
守恒定律
在物理學裏，假若孤立物理系統的某種可觀測性質遵守守恆定律（law of conservation），則隨著系統的演進，這種性質不會改變。 諾特定理是關於守恆定律的重要理論。諾特定理表明，每一種守恆定律，必定有其伴隨的物理對稱性。例如，伴隨著能量守恆的是物理系統對於時間的不變性。不論在空間的取向為何，物理系統的物理行為一樣，這性質導致角動量守恆。.
对称关系
数学上，若對所有的 a 和 b 屬於 X，下述語句保持有效，則集合 X 上的二元关系 R 是对称的：「若 a 关系到 b，则 b 关系到 a。」 数学上表示为： 例如：“和……结婚”是对称关系；“小于”不是对称关系。 注意，对称关系不是反对称关系（aRb 且 bRa 得到 b.
对称群 (n次对称群)
数学上，集合X上的对称群记作SX或Sym(X)。它的元素是所有X到X自身的双射组成的群。由于恒等函数是双射，双射的反函数也是双射，并且两个双射的复合仍是双射，这个集合关于函数的复合成为群，即是置换群Sym(X)。两个函数的复合一般记作f o g，在置换群的表示里简记作fg。 对称群在很多不同的数学领域中，都扮演了重要角色。包括：伽罗华理论、不变量理论、李群的表示理论和组合学等等。.
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富勒烯
富勒烯（Fullerene）是一種完全由碳组成的中空分子，形狀呈球型、椭球型、柱型或管状。富勒烯在结构上与石墨很相似，石墨是由六元环组成的石墨烯层堆积而成，而富勒烯不仅含有六元环还有五元环，偶尔还有七元环。 1985年英国化学家哈罗德·沃特尔·克罗托博士和美国科学家理查德·斯莫利在萊斯大學制备出了第一种富勒烯，即「C60分子」或「富勒烯」，因为这个分子与建筑学家巴克明斯特·富勒的建筑作品很相似，为了表达对他的敬意，将其命名为「巴克明斯特·富勒烯」（巴克球）。饭岛澄男早在1980年之前就在透射电子显微镜下观察到这样洋葱状的结构。自然界也是存在富勒烯分子的，2010年科学家们通过史匹哲太空望远镜发现在外太空中也存在富勒烯。 “也许外太空的富勒烯为地球提供了生命的种子”。 在富勒烯发现之前，碳的同素异形体的只有石墨、钻石、无定形碳（如炭黑和炭），它的发现极大地拓展了碳的同素异形体的数目。富勒烯和碳纳米管独特的化学和物理性质以及在技术方面潜在的应用，引起了科学家们强烈的兴趣，尤其是在材料科学、电子学和纳米技术方面。 Biosphère Montréal.jpg|建筑学家理查德·巴克明斯特·富勒设计的加拿大1967年世界博覽會球形圆顶薄壳建筑 Buckminsterfullerene-perspective-3D-balls.png|拥有60个碳原子的巴克明斯特·富勒烯C60 Football (soccer ball).svg|现代足球与C60有着非常类似结构.
密码学
密碼學（Cryptography）可分为古典密码学和现代密码学。在西欧語文中，密码学一词源於希臘語kryptós“隱藏的”，和gráphein“書寫”。古典密码学主要关注信息的保密书写和传递，以及与其相对应的破译方法。而现代密码学不只关注信息保密问题，还同时涉及信息完整性验证（消息验证码）、信息发布的不可抵赖性（数字签名）、以及在分布式计算中产生的来源于内部和外部的攻击的所有信息安全问题。古典密码学与现代密码学的重要区别在于，古典密码学的编码和破译通常依赖于设计者和敌手的创造力与技巧，作为一种实用性艺术存在，并没有对于密码学原件的清晰定义。而现代密码学则起源于20世纪末出现的大量相关理论，这些理论使得现代密码学成为了一种可以系统而严格地学习的科学。 密码学是数学和计算机科学的分支，同时其原理大量涉及信息论。著名的密碼學者罗纳德·李维斯特解釋道：「密碼學是關於如何在敵人存在的環境中通訊」，自工程學的角度，這相當于密碼學與純數學的差异。密碼學的发展促進了计算机科学，特別是在於電腦與網路安全所使用的技術，如存取控制與資訊的機密性。密碼學已被應用在日常生活：包括自动柜员机的晶片卡、電腦使用者存取密碼、電子商務等等。.
對稱
對稱是幾何形狀、系統、方程以及其他實際上或概念上之客體的一種特徵－典型地，物件的一半為其另一半的鏡射。 在數理上，如果稱一個幾何圖形或物體為對稱的話，即表示它是變形的不變量，而對稱一詞亦包含在此定義之中。若兩個物體稱為互相對稱時，即表示其中一者的形狀經幾何分割後，在不變更整體形狀的情況下，可以將分割片段重組為另一者，且反之亦然。 對稱亦可在人類與其他動物等生物體中發現（見如下之生物內的對稱）。在二維幾何中，較有趣味的幾種主要的對稱為相對於基本之歐幾里得空間等距的：平移、旋轉、鏡射及滑移鏡射。.
對稱群
对称群可以指：.
對角線
在數學上，對角線有多個定義.
小群列表
下面的數學列表包含著以群同構來分之小階有限群。 這個列表可以被用來決定一個給定的有限群G會同構於哪一種群：首先確定G的階，然後再找下面列表中有相同階的候選群。若知道G為可換與否，某些的候選群便可以立刻被刪掉。為了分別剩下的候選群，可以看給定之群內每個元素的階，並對照候選群內每個元素的階。.
尼尔斯·阿贝尔
尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，），挪威數學家，開啟許多領域的研究，以證明懸疑餘兩百五十年五次方程的根式解的不可能性和对椭圆函数的研究中提出阿貝爾方程式而聞名。 生于挪威芬岛附近的 ，就读于奥斯陆大学。1825年得到政府资助，游学柏林和巴黎。儘管阿贝尔成就極高，卻生前不得志，無法獲得教席俾專心研究，最後因過度貧窮染上肺结核逝世於挪威的弗鲁兰。死後兩天，來自柏林的聘書才寄到家中。跟同樣早逝的伽羅華一同被奉為群論的先驅。现代有以他名字命名的阿贝尔奖。 法國數學家夏爾·埃爾米特讚曰：「阿貝爾讓數學家們足夠忙上五百年的。」 ；另一法國數學家阿德里安-馬里·勒讓德曰：「這挪威青年的頭腦實在不簡單啊！.
居里点
居里点（Curie point）又作居里温度（Curie temperature，Tc）或磁性转变点。是指磁性材料中自发磁化强度降到零时的温度，是铁磁性或亚铁磁性物质转变成顺磁性物质的临界点。低于居里点温度时该物质成为铁磁体，此时和材料有关的磁场很难改变。当温度高于居里点时，该物质成为顺磁体，磁体的磁场很容易随周围磁场的改变而改变。这时的磁敏感度约为10-6。居里点由物质的化学成分和晶体结构决定。 Category:温度 Category:凝聚体物理学 Category:磁学 Category:相变.
不定积分
在微积分中，一个函数f.
不變量理論
不變量理論是數學的一個分支，它研究群在代數簇上的作用。不變量理論的古典課題是研究在線性群作用下保持不變的多項式函數。 對於有限群，不變量理論與伽羅瓦理論有密切聯繫，一個較早的結果涉及了對稱群 S_n 在多項式環 F 上的作用：S_n 作用下的不變量構成一個子環，由基本對稱多項式生成，由於基本對稱多項式彼此代數獨立，此不變量環本身也同構於另一多項式環。Chevalley-Shephard-Todd 定理刻劃了其不變量環同構於多項式環的有限群。晚近的研究則更關切算法問題，例如計算不變量環的生成元，或給出其次數的上界。 對於一般的代數群，其不變量理論與線性代數、二次型及行列式理論密切相關。 大衛·蒙福德在1960年代創建了幾何不變量理論，這是構造模空間的有力工具。此理論探討代數簇在群作用下的商空間，並研究軌道的幾何性質。幾何不變量理論與古典不變量理論的關聯如次：考慮域 k 上的仿射代數簇 X.
中心 (群论)
在抽象代数中，群G的中心Z\left(G\right)是所有在G中和G的所有元素可交换的元素的集合，也就是： 注意Z\left(G\right)是一个G的子群：若x和y在Z\left(G\right)中，则\left(xy\right)g.
中心化子和正规化子
群论中，一个群G的子集S的中心化子和正规化子是G的子群。它们分别在S的元素和作为一个整体S有受限制的作用。这些子群给出了关于G的结构的有用信息。.
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三次方程
三次方程是未知项總次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式為 其中\ a, \ b,\ c和\ d (a \neq 0)是屬於一個域的數字，通常這個域為R或C。 本條目只解釋一元三次方程，而且簡稱之為三次方程。.
平展上同调
在数学中，一个代数簇或概形的平展上同调（Étale cohomology）是一个与一般拓扑空间的有限系数上同调群类似的代数结构。这一概念作为证明的工具由亚历山大·格罗滕迪克引入。平展上同调的理论可以用于构建ℓ进上同调，后者则是代数几何中的一个例子。这一理论有着众多的应用，包括Weil猜想的证明以及的构造。.
平移
在仿射幾何，平移（translation）是將物件的每點向同一方向移動相同距離。 它是等距同構，是仿射空間中仿射變換的一種。它可以視為將同一個向量加到每點上，或將坐標系統的中心移動所得的結果。即是說，若\mathbf是一個已知的向量，\mathbf是空間中一點，平移T_(\mathbf).
并集
在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集（台湾叫做聯--集、港澳叫做--、大陆叫做--）是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。.
幺半群
在抽象代數此一數學分支中，幺半群（又稱為單群、亞群、具幺半群或四分之三群）是指一個帶有可結合二元運算和單位元的代數結構。么半群在許多的數學分支中都會出現。在幾何學中，幺半群捉取了函數複合的概念；更確切地，此一概念是從範疇論中抽象出來的，之中的幺半群是個帶有一個物件的範疇。幺半群也常被用來當做電腦科學的堅固代數基礎；在此，變換幺半群和語法幺半群被用來描述有限狀態自動機，而跡幺半群和歷史幺半群則是做為進程演算和並行計算的基礎。幺半群的研究中一些較重要的結論有克羅恩-羅德斯定理和星高問題。.
广群
在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，广群（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为：.
乘法
乘法（Multiplication），加法的連續運算，同一数的若干次连加，其運算結果稱為積（Product）。 因為華人地區有將四則運算的被運算數和運算數統一位置，所以前者是被乘數後者是乘數，使用中文敘述為n個a。.
乘法群
#重定向 阿贝尔群.
交集
数学上，两个集合A和B的交集是含有所有既属于A又属于B的元素，而没有其他元素的集合。.
交換子
在抽象代数中，一个群的交換子（commutator）或换位子是一个二元運算子。设g及h 是 群G中的元素，他們的交換子是g −1 h −1 gh，常記為。只有当g和h符合交换律（即gh.
交換律
交換律(Commutative property)是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才被聲明。.
二元运算
二元运算属于数学运算的一种。二元运算需要三个元素：二元运算符以及该运算符作用的两个变量。如四则运算的加、减、乘、除均属于二元运算。 如在运算1 + 2之中，二元运算符为“+”，而该运算符作用的操作数分别为1与2。 二元运算只是二元函数的一种，由于它被广泛应用于各个领域，因此受到比其它函数更高的重视。.
二面體群
在數學中，二面體群 D_ 是正 n 邊形的對稱群，具有 2n 個元素。某些書上則記為 D_n。除了 n.
二次方程
二次方程是一种整式方程，主要特点是未知项的最高次数是2，其中最常见的是一元二次方程。.
五次方程
五次方程是一種最高次數為五次的多項式方程。本條目專指只含一個未知數的五次方程（一元五次方程），即方程形如 其中，a、b、c、d、e和f为复数域内的数，且a不为零。例如： 尋找五次方程的解一直是個重要的數學問題。一次方程和二次方程很早就找到了公式解，經過數學家們的努力，後來三次方程及四次方程也有了解答，但是之后很长的一段时间里沒有人知道五次方程是否存在公式解。相形之下，解五次方程顯得格外的困難。 後來，和尼爾斯·阿貝爾證明了一般的五次方程，不存在統一的根式解（即由方程的係數通過有限次的四則運算及根號組合而成的公式解）。認為一般的五次方程沒有公式解存在的看法其实是不正確的。事實上，利用一些超越函數，如Θ函数或戴德金η函數即可構造出五次方程的公式解。另外，若只需求得數值解，可以利用數值方法（如牛頓法）得到相當理想的解答。 證明一般五次以上的方程式無根式解的人是埃瓦里斯特·伽羅瓦，他巧妙地利用群論處理了上述的問題。.
代数几何
代数几何是数学的一个分支。 经典代数几何研究多项式方程的零点，而现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线，比如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线、三次曲线（非奇异情形称作椭圆曲线）、四次曲线（如双纽线，以及卵形线）、以及一般n次曲线。代数几何的基本问题涉及对代数簇的分类，比如考虑在双有理等价意义下的分类，即双有理几何，以及模空间问题，等等。 代数几何在现代数学占中心地位，与多复变函数论、微分几何、拓扑学和数论等不同领域均有交叉。始于对代数方程组的研究，代数几何延续解方程未竟之事；与其求出方程实在的解，代数几何尝试理解方程组的解的几何性质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支。 进入20世纪，代数几何的研究又衍生出几个分支：.
代数拓扑
代数拓扑（Algebraic topology）是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。.
代數群
在代數幾何中，一個代數群（或群簇）是一個群是一個代數簇，其簇之乘與逆由正則函數提供。以范畴论描述，一個代數群是一個於代數簇範疇 (數學)中的群對象。 在數學中，域k上的代數群有幾種等價的描述：.
弦理論
弦理論，又稱弦論，是发展中理論物理學的一支，结合量子力学和广义相对论为万有理论。弦理論用一段段“能量弦線”作最基本單位以说明宇宙里所有微观粒子如電子、夸克、微中子都由這一維的“能量線”所組成；換而言之，弦論主張「弦」以不同的振動模式對應到自然界的各種基本粒子。 較早時期所建立的粒子學說則是認為所有物質是由零維的點粒子所組成，也是目前廣為接受的物理模型，也很成功的解釋和預測相當多的物理現象和問題，但是此理論所根據的粒子模型卻遇到一些無法解釋的問題。比較起來，弦理論的基礎是波動模型，因此能夠避開前一種理論所遇到的問題。更深的弦理論學說不只是描述弦狀物體，還包含了點狀、薄膜狀物體，更高維度的空間，甚至平行宇宙。弦理論目前尚未能做出可以實驗驗證的準確預測。.
伽罗瓦群
伽罗瓦群（Groupe de Galois）是抽象代数中域论的概念，表示与某个类型的域扩张相伴的群，是伽罗瓦理论的基础概念。域扩张源于多项式。通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式的理论，称为伽罗瓦理论，是十九世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦为了解决“高次多项式方程是否有根式解”的问题而创造的。后世也以他的名字命名相关的概念。 用置换群更初等地讨论伽罗瓦群，参见伽罗瓦理论一文。.
伽羅瓦理論
在数学中，特别是抽象代数理论中，由法國數學家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）得名的伽罗瓦理论提供了域论和群论之间的联系。应用伽罗瓦理论，域论中的一些问题可以化简为更简单易懂的群论问题。 伽罗瓦最初使用置换群来描述给定的多项式的根与根之间的关系。由戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）、利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）、埃米爾·阿廷（Emil Artin）等人发展起来的现代伽罗瓦理论引入了关于域扩张及其自同构的研究。 伽罗瓦理论的进一步抽象为伽罗瓦连接理论。.
当且仅当
当且仅当（If and only if）（中国大陆又称作当且--仅当，臺灣又称作若且--唯若），在--邏輯中，逻辑算符反互斥或閘（exclusive or）是对两个运算元的一种邏輯分析类型，符号为XNOR或ENOR或\Leftrightarrow。与一般的邏輯或非NOR不同，當兩兩數值相同為是，而數值不同時為否。在数学、哲学、逻辑学以及其他一些技术性领域中被用来表示“在，并且仅仅在这些条件成立的时候”之意，在英语中的对应标记为iff。“A当且仅当B”其他等价的说法有“当且仅当A則B”；“A是B的充分必要条件（充要條件）”。 一般而言，當我們看到“A当且仅当B”，我們可以知道“如果A成立時，則B一定成立；如果B成立時，則A也一定成立”；“如果A不成立時，則B一定不成立；如果B不成立時，則A也一定不成立”。.
微分同胚
在數學中，微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射，使得此映射及其逆映射均為光滑（即無窮可微）的。.
微分方程
微分方程（Differential equation，DE）是一種數學方程，用來描述某一類函数與其导数之间的关系。微分方程的解是一個符合方程的函數。而在初等数学的代数方程裡，其解是常数值。 微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题 。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力為速度函數的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。 数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部份性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。.
化學
化學是一門研究物質的性質、組成、結構、以及变化规律的基礎自然科學。化學研究的對象涉及物質之間的相互關係，或物質和能量之間的關聯。傳統的化學常常都是關於兩種物質接觸、變化，即化學反應，又或者是一種物質變成另一種物質的過程。這些變化有時會需要使用電磁波，當中電磁波負責激發化學作用。不過有時化學都不一定要關於物質之間的反應。光譜學研究物質與光之間的關係，而這些關係並不涉及化學反應。准确的说，化学的研究范围是包括分子、离子、原子、原子团在内的核-电子体系。 「化學」一詞，若單從字面解釋就是「變化的學問」之意。化学主要研究的是化学物质互相作用的科学。化學如同物理皆為自然科學之基礎科學。很多人稱化學為「中心科學」，因為化學為部分科學學門的核心，連接物理概念及其他科學，如材料科學、纳米技术、生物化學等。 研究化學的學者稱為化學家。在化學家的概念中一切物質都是由原子或比原子更細小的物質組成，如電子、中子和質子。但化学反应都是以原子或原子团为最小结构进行的。若干原子通过某种方式结合起来可构成更复杂的结构，例如分子、離子或者晶體。 當代的化學已發展出許多不同的學門，通常每一位化學家只專精於其中一、兩門。在中學課程中的化學，化學家稱為普通化學（Allgemeine Chemie，General Chemistry，Chimie Générale）。普通化學是化學的導論。普通化學課程提供初學者入門簡單的概念，相較於專業學門領域而言，並不甚深入和精確，但普通化學提供化學家直觀、圖像化的思維方式。即使是專業化學家，仍用這些簡單概念來解釋和思考一些複雜的知識。.
像
像可以是指：.
初等群論
在數學中，群 定義為集合 G 和叫做“乘積”并指示為中綴 "*" 的 G 上的二元運算。乘積服從下列規則(也叫做公理)。設 a, b 和 c 是 G 的任意元素。則.
利奥波德·克罗内克
利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，），德国数学家与逻辑学家，出生于西里西亞利格尼茨（现属波兰的莱格尼察），卒于柏林。他认为算术与数学分析都必须以整数为基础，他曾说：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作”（Bell 1986, 477页）。这与数学家格奥尔格·康托尔的观点相互对立。克罗内克是恩斯特·库默尔的学生和终身挚友。 以克罗内克命名的数学理论包括克罗内克δ、克罗内克积等。 Kronecker–Weber定理說明若K / \mathbb是有理數集\mathbb的有限阿貝爾擴張，則K是的一個分圓域的子域。 Kronecker引理說明： 若(x_n)_^\infty是一個實數數列，使得 存在且有限，則對於0及b_n \to \infty則有 Category:19世纪数学家 Category:德国数学家 Category:邏輯學家 Category:猶太科學家 Category:柏林洪堡大學教師 Category:柏林洪堡大學校友 Category:德國猶太人 Category:西里西亞人 分类:绅士科学家.
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分式環
在抽象代數中，分式環或分式域是包含一個整環的最小域，典型的例子是有理數域之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環，此時通常稱作全分式環。 分式環有時也被稱為商域，但此用語易與商環混淆。.
分裂域
在抽象代数中，一个系数域为\mathbb的多项式P(x)\,的分裂域（根域）是\mathbb的“最小”的一个扩域\mathbb，使得在其中P\,可以被分解为一次因式x-r_i\,的乘积，其中的r_i\,是\mathbb中元素。一个\mathbb上的多项式并不一定只有一个分裂域，但它所有的分裂域都是同构的：在同构意义上，\mathbb上的多项式的分裂域是唯一的。.
分析
分析（Analysis）是将复杂的话题或事物逐渐拆分的过程，以此来达到对话题更好的理解。尽管“分析”作为一个正式的概念在近年来才逐步建立起来，这一技巧自亚里士多德（公元前384年至322年）就已经应用在了数学、逻辑学等多个领域。.
分數
分數（fraction）是用分式（分數式）表達成 \frac 的数（a, b \in Z, b\neq 0）。在上式之中，b 稱為分母（Denominator）而 a 稱為分子（Numerator），可視為某件事物平均分成 b 份中佔 a 分，讀作「b 分之 a」。中間的線稱為分線或分数线。有時人們會用 a/b 來表示分數。.
單位元
單位元是集合裏的一種特別的元素，與該集合裏的二元運算有關。當單位元和其他元素結合時，並不會改變那些元素。單位元被使用在群和其他相關概念之中。 設 (S,*)為一帶有一二元運算* 的集合S（稱之為原群），則S內的一元素e被稱為左單位元若對所有在S內的a而言，e * a .
單群
#重定向 单群.
單模
在抽象代數中，若一個環 A 上的模 M 其子群只有 \ 及自身，則稱 M 為單模。換言之，環 A 上的單模是 A-模範疇中的單對象。單模又稱不可約模。.
和
和可以指：.
哈尔测度
数学分析中，哈尔测度（Haar measure）是赋予局域紧致拓扑群一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。 这个测度由匈牙利数学家 Alfréd Haar 于1933年发明 。哈尔测度用于数学分析，数论，群论，表示论，估计理论和遍历理论的很多方面。.
儒勒·昂利·庞加莱
儒勒·昂利·庞加莱（Jules Henri Poincaré，法語发音，又译作彭加勒、昂利·彭加勒，），通常称为昂利·庞加莱，法国最伟大的数学家之一，理论科学家和科学哲学家。庞加莱被公认是19世纪后和20世纪初的领袖数学家，是繼高斯之後对于数学及其应用具有全面知识的最后數學家。 他对数学，数学物理，和天体力学做出了很多创造性的基础性的贡献。他提出的庞加莱猜想是数学中最著名的问题之一。在他对三体问题的研究中，庞加莱成了第一个发现混沌确定系统的人並为现代的混沌理论打下了基础。庞加莱比爱因斯坦的工作更早一步，并起草了一个狭义相对论的简略版。庞加莱群以他命名。.
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冪
幂運算（Exponentiation），又稱指數運算，是一種數學運算，表示為 bn。其中，b 被稱為底數，而 n 被稱為指數，其結果為 b 自乘 n 次。同樣地，把 b^n 看作乘方的结果，稱為「 b 的 n 次幂」或「 b 的 n 次方」。 通常指數寫成上標，放在底數的右邊。當不能用上標時，例如在編程語言或電子郵件中，b^n通常寫成b^n或b**n，也可視為超運算，記為bn，亦可以用高德納箭號表示法，寫成b↑n，讀作“ b 的 n 次方”。 當指數為 1 時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為 2 時，可以讀作“ b 的平方”；指數為 3 時，可以讀作“ b 的立方”。 bn 的意義亦可視為： 起始值 1（乘法的單位元）乘上底數（b）自乘指數（n）這麼多次。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：除 0 外所有數的零次方都是 1 ；指數是負數時就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即： 以分數為指數的冪定義為b^.
冪零群
在群論裡，冪零群為一擁有幾乎可換之特殊性質的群，經由交換子(.
几何学
笛沙格定理的描述，笛沙格定理是欧几里得几何及射影几何的重要結果 幾何學（英语：Geometry，γεωμετρία）簡稱幾何。几何学是數學的一个基础分支，主要研究形狀、大小、圖形的相對位置等空間区域關係以及空间形式的度量。 許多文化中都有幾何學的發展，包括許多有關長度、面積及體積的知識，在西元前六世紀泰勒斯的時代，西方世界開始將幾何學視為數學的一部份。西元前三世紀，幾何學中加入歐幾里德的公理，產生的欧几里得几何是往後幾個世紀的幾何學標準。阿基米德發展了計算面積及體積的方法，許多都用到積分的概念。天文學中有關恆星和行星在天球上的相對位置，以及其相對運動的關係，都是後續一千五百年中探討的主題。幾何和天文都列在西方博雅教育中的四術中，是中古世紀西方大學教授的內容之一。 勒內·笛卡兒發明的坐標系以及當時代數的發展讓幾何學進入新的階段，像平面曲線等幾何圖形可以由函數或是方程等解析的方式表示。這對於十七世紀微積分的引入有重要的影響。透视投影的理論讓人們知道，幾何學不只是物體的度量屬性而已，透视投影後來衍生出射影几何。歐拉及高斯開始有關幾何物件本體性質的研究，使幾何的主題繼續擴充，最後產生了拓扑学及微分幾何。 在歐幾里德的時代，實際空間和幾何空間之間沒有明顯的區別，但自從十九世紀發現非歐幾何後，空間的概念有了大幅的調整，也開始出現哪一種幾何空間最符合實際空間的問題。在二十世紀形式數學興起以後，空間（包括點、線、面）已沒有其直觀的概念在內。今日需要區分實體空間、幾何空間（點、線、面仍沒有其直觀的概念在內）以及抽象空間。當代的幾何學考慮流形，空間的概念比歐幾里德中的更加抽象，兩者只在極小尺寸下才彼此近似。這些空間可以加入額外的結構，因此可以考慮其長度。近代的幾何學和物理關係密切，就像偽黎曼流形和廣義相對論的關係一樣。物理理論中最年輕的弦理論也和幾何學有密切關係。 几何学可見的特性讓它比代數、數論等數學領域更容易讓人接觸，不過一些几何語言已經和原來傳統的、欧几里得几何下的定義越差越遠，例如碎形幾何及解析幾何等。 現代概念上的幾何其抽象程度和一般化程度大幅提高，並與分析、抽象代數和拓撲學緊密結合。 幾何學應用於許多領域，包括藝術，建築，物理和其他數學領域。.
凱萊定理
在群論中，凱萊定理，以阿瑟·凱萊命名，聲稱所有群G 同構於在G上的對稱群的子群。這可以被理解為G在G的元素上的群作用的一個例子。 集合G的置換是任何從G到G的雙射函數；所有這種函數的集合形成了在函數複合下的一個群，叫做“G上的對稱群”并寫為Sym(G)。 凱萊定理通過把任何群（包括無限群比如(R,+)）都當作某個底層集合的置換群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對置換群成立的定理對於一般群也成立。.
凱萊圖
在數學中，凱萊圖也叫做凱萊著色圖是編碼離散群的圖。它的定義是凱萊定理（以阿瑟·凱萊命名）所暗含的，并使用這個群的特定的通常有限的生成元集合。它是組合群論與幾何群論的中心工具。.
凱萊表
凱萊表，以19世紀英國數學家阿瑟·凱萊命名，通過在正方形表格中排列一個群的所有元素的所有可能乘積來描述有限群的結構，這讓人想起了加法或乘法表。群的很多性質，比如是否為阿貝爾群，哪個元素是哪個元素的逆元，和群的中心的大小和內容，都可以通過檢查它的凱萊表來輕易得出。 凱萊表的一個簡單例子是群 在普通的乘法下的表格: |- !style.
函子
在範疇論中，函子是範疇間的一類映射。函子也可以解釋為小範疇範疇內的態射。 函子首先現身於代數拓撲學，其中拓撲空間的連續映射給出相應的代數对象（如基本群、同調群或上同調群）的代數同態。在當代數學中，函子被用來描述各種範疇間的關係。「函子」（英文：Functor）一詞借自哲學家魯道夫·卡爾納普的用語。卡爾納普使用「函子」這一詞和函數之間的相關來類比謂詞和性質之間的相關。對卡爾納普而言，不同於當代範疇論的用法，函子是個語言學的詞彙。對範疇論者來說，函子則是個特別類型的函數。.
函数
函數在數學中為兩集合間的一種對應關係：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x2的關係就是一個函數，若以3作為此函數的輸入值，所得的輸出值便是9。 為方便起見，一般做法是以符號f,g,h等等來指代一個函數。若函數f以x作為輸入值，則其輸出值一般寫作f(x)，讀作f of x。上述的平方函數關係寫成數學式記為f(x).
商群
在數學中，給定一個群G和G的正規子群N，G在N上的商群或因子群，在直覺上是把正規子群N“萎縮”為單位元的群。商群寫為G/N并念作G mod N（mod是模的簡寫）。如果N不是正規子群，商仍可得到，但結果將不是群，而是齊次空間。.
公开密钥加密
公开密钥加密（Public-key cryptography），也称为非对称加密（asymmetric cryptography），是密碼學的一種演算法，它需要兩個密钥，一個是公開密鑰，另一個是私有密鑰；一個用作加密的時候，另一個則用作解密。使用其中一個密钥把明文加密后所得的密文，只能用相對應的另一個密钥才能解密得到原本的明文；甚至連最初用來加密的密鑰也不能用作解密。由於加密和解密需要兩個不同的密鑰，故被稱為非對稱加密；不同於加密和解密都使用同一個密鑰的對稱加密。雖然兩個密鑰在数学上相关，但如果知道了其中一个，并不能憑此计算出另外一个；因此其中一个可以公开，称为公钥，任意向外發佈；不公开的密钥为私钥，必須由用戶自行嚴格秘密保管，絕不透過任何途徑向任何人提供，也不會透露給要通訊的另一方，即使他被信任。 基於公開密鑰加密的特性，它還提供數位簽章的功能，使電子文件可以得到如同在紙本文件上親筆簽署的效果。 公開金鑰基礎建設透過信任数字证书认证机构的根证书、及其使用公开密钥加密作數位簽章核發的公開金鑰認證，形成信任鏈架構，已在TLS實作並在万维网的HTTP以HTTPS、在电子邮件的SMTP以STARTTLS引入。 另一方面，信任網絡則採用去中心化的概念，取代了依賴數字證書認證機構的公鑰基礎設施，因為每一張電子證書在信任鏈中最終只由一個根證書授權信任，信任網絡的公鑰則可以累積多個用戶的信任。PGP就是其中一個例子。.
公理
在傳統邏輯中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關係毕竟不能無限地追溯，而需停止於無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如「a+b.
共轭
共轭（conjugate）可以指：.
典型群
在数学中，典型群（classical group）指与欧几里得空间的对称密切相关的四族无穷多李群。术语“--”的使用取决于语境，有一定的灵活性。这个用法可能源于赫尔曼·外尔，他的专著 以“典型群”为题。在菲利克斯·克莱因爱尔兰根纲领的观点下，也许反映了它们和“--”几何（classical geometry）的关系。 有时在紧群的限制下讨论典型群，这样容易处理它们的表示论和代数拓扑。但是这把一般线性群排除在外，当前都认为一般线性群是最典型的群 。 和典型李群相对的是例外李群，具有一样的抽象性质，但不属于同一类。.
元素
#重定向 化學元素.
充分必要条件
充分必要條件（sufficient and necessary condition）簡稱為充要條件。 在逻辑学中：.
因數
因數是一個常見的數學名詞，又名「--」。.
四次方程
四次方程，是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为： 本篇只讨论一元四次方程，并简称为四次方程。.
倍數
倍數是一數學名詞，是指一個數和一整數的乘積。換句話說，針對兩個數a和b，若存在一整數n使得b.
矩阵
數學上，一個的矩陣是一个由--（row）--（column）元素排列成的矩形阵列。矩陣--的元素可以是数字、符号或数学式。以下是一个由6个数字元素构成的2--3--的矩阵： 大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵的乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的--数等于第二个矩阵的--数。矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。 矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如.
矩阵群
在数学中，一个矩阵群（matrix group）G 由某个域 K（通常为了方便是固定的）上可逆方块矩阵组成，群运算分别为矩阵乘法与逆运算。更一般地，我们可考虑一个交换环 R 上 n × n 矩阵（矩阵的大小限制为有限，因任何群可表示为任何域上一个无限矩阵群）。线性群（linear group）是同构于一个域 K 上矩阵群的抽象群，换句话说，在 K 上有一个忠实有限维表示。 任何有限群是线性的，因为利用凯莱定理可以实现为置换矩阵。在无限群中，线性群组成有趣且易于处理的一类。非线性群的例子包括所有“足够大”群；例如一个无限集合的无限对称群。.
矩陣乘法
這篇文章給出多種矩陣相乘方法的綜述。.
环
环可能指：.
理想類群
想類群是代數數論的基本對象之一，簡稱類群。它描述了一個數域的理想與元素的差異。理想類群是有限交換群，其元素個數稱作該域的類數。.
碳
碳（Carbon，拉丁文意為煤炭）是一種化學元素，符號為C，原子序数為6，位於元素週期表中的IV A族，屬於非金屬。每個碳原子有四顆能夠進行鍵合的電子，因此其化合價通常為4。自然產生的碳由三種同位素組成：12C和13C為穩定同位素，而14C則具放射性，其半衰期約為5,730年。碳是少數幾個自遠古就被發現的元素之一（見化學元素發現年表）。 碳的同素異形體有數種，最常見的包括：石墨、鑽石及無定形碳。這些同素異形體之間的物理性質，包括外表、硬度、電導率等等，都具有極大的差異。在正常條件下，鑽石、碳納米管和石墨烯的熱導率是已知材質中最高的。 所有碳的同素異形體在一般條件下都呈固态，其中石墨的熱力學穩定性最高。它們不易受化學侵蝕，甚至連氧都要在高溫下才可與其反應。碳在無機化合物中最常見的氧化態為+4，並在一氧化碳及過渡金屬羰基配合物中呈+2態。無機碳主要來自石灰石、白雲石和二氧化碳，但也大量出現在煤、泥炭、石油和甲烷水合物等有機礦藏中。碳是所有元素中化合物种类最多的，目前有近一千萬種已記錄的純有機化合物，但這只是理論上可以存在的化合物中的冰山一角。 碳的豐度在地球地殼中排列第15（见地球的地殼元素豐度列表），並在全宇宙中排列第4（见化學元素豐度），名列氫、氦和氧之下。由於碳元素極為充沛，再加上它在地球環境下所能產生的聚合物種類極為繁多，因此碳是地球上所有生物的化學根本。.
离散对数
在整數中，離散對數（Discrete logarithm）是一種基於同餘運算和原根的一種對數運算。而在實數中對數的定義 logb a 是指對於給定的 a 和 b，有一個數 x，使得。相同地在任何群 G中可為所有整數 k定義一個冪數為 bk，而離散對數 logb a是指使得 的整數 k。 離散對數在一些特殊情況下可以快速計算。然而，通常沒有具非常效率的方法來計算它們。公鑰密碼學中幾個重要算法的基礎，是假設尋找離散對數的問題解，在仔細選擇過的群中，並不存在有效率的求解算法。.
积分
积分是微积分学与数学分析裡的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数 f(x)， f(x)在一个实数区间 上的定积分 可以理解为在 \textstyle Oxy坐标平面上，由曲线 (x,f(x))、直线x.
空間
間（Raum，space，espace，espacio，spazio），，抽象化之後形成的概念。與時間二者，構成物質存在的基本範疇，是人類思考的基本概念框架之一。人類可以用直覺了解空間，但難以概念化，因此自古希臘時代開始，就成為哲學與物理學上重要的討論課題。空間存在，是運動構成的基本條件。在物理學中，以三個維度來描述空間的存在。相對論中，將時間及空間二者，合併成單一的時空概念。伽利略、莱布尼兹、艾萨克·牛顿、伊曼努尔·康德、卡爾·弗里德里希·高斯、爱因斯坦、庞加莱都研究空间的本质。.
空間對稱群
一個物件（如一維、二維或三維中的圖像或信號）的對稱群是指在複合函數運算下不變的所有等距同構所構成的群。其為所考慮之空間的等距同構群中的一個子群。 （若沒有另外注明，則本文只考慮在歐幾里得空間內的對稱群，但此一概念亦可以被應用在更廣義的用途上，詳見下文。） 「物件」可以是幾何形狀、圖像及模式，如壁紙圖樣。其定義能夠以詳述圖像或模式的方式，如將位置附上一組顏色的值的函數，來使其更為精確。對如三維物體的對稱，可能亦會想要考量其物理上可能的組合。空間中等距同構的群可以產生一個作用於此群本身物件上的群作用。 對稱群有時亦稱為全對稱群，以強調其會產生一個圖像不會改變的反轉定位之等距同構（如鏡射、滑移鏡射和不純旋轉）。會保留其定位之同距同構（如平移、旋轉和此兩者的組合）的子群則稱為其純對稱群。一物件的純對稱群若等同於其全對稱群，則稱此物件為對掌的（也因此不存在使其不變的反轉定位之等距同構。) 任何其元素有著相同個不動點的對稱群都可以由選定其原點為不動點來被表示成一個正交群O(n)的子群，其對所有的有限對稱群及有界圖像之對稱群皆為真的。 離散對稱群可以分成三種類型：.
空集
集是不含任何元素的集合，數學符號為\empty、\varnothing或\。.
立方烷
立方烷（C8H8）为人工合成的烷烃，又稱為五環辛烷，外观为有光泽的晶体。八个碳原子对称地排列在立方体的八个角上。此烷烃属于柏拉图烃的一种。立方烷于1964年由芝加哥大学的Dr. Philip Eaton与Thomas W. Cole首先合成。Cubaneand Thomas W. Cole.
等价关系
等價關係（equivalence relation）即设R是某個集合A上的一个二元关系。若R满足以下條件：.
算法
-- 算法（algorithm），在數學（算學）和電腦科學之中，為任何良定义的具體計算步驟的一个序列，常用於計算、和自動推理。精確而言，算法是一個表示爲有限長列表的。算法應包含清晰定義的指令用於計算函數。 算法中的指令描述的是一個計算，當其時能從一個初始狀態和初始輸入（可能爲空）開始，經過一系列有限而清晰定義的狀態最終產生輸出並停止於一個終態。一個狀態到另一個狀態的轉移不一定是確定的。隨機化算法在内的一些算法，包含了一些隨機輸入。 形式化算法的概念部分源自尝试解决希尔伯特提出的判定问题，並在其后尝试定义或者中成形。这些尝试包括库尔特·哥德尔、雅克·埃尔布朗和斯蒂芬·科尔·克莱尼分别于1930年、1934年和1935年提出的遞歸函數，阿隆佐·邱奇於1936年提出的λ演算，1936年的Formulation 1和艾倫·圖靈1937年提出的圖靈機。即使在當前，依然常有直覺想法難以定義爲形式化算法的情況。.
算术研究
《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯於1798年写成的一本数论教材，在1801年他24岁时首次出版。全书用拉丁文写成。在这本书中高斯整理汇集了费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数学家在数论方面的研究结果，并加入了许多他自己的重要成果。.
素数
質--數（Prime number），又称素--数，指在大於1的自然数中，除了1和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合數。例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。而6則是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正因數。算術基本定理確立了質數於數論裡的核心地位：任何大於1的整數均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是質數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解）。 古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在（欧几里得定理）。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中試除法比較簡單，但需時較長：設被測試的自然數為n，使用此方法者需逐一測試2與\sqrt之間的整數，確保它們無一能整除n。對於較大或一些具特別形式（如梅森數）的自然數，人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數（例如277232917-1是直至2017年底為止已知最大的梅森質數）。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式，但已建構了質數的分佈模式（亦即質數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的質數定理指出：一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位（或n的對數）。 許多有關質數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生質數猜想（存在無窮多對相差2的質數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念，主要出現在代數裡，如質元素及質理想。.
索菲斯·李
里乌斯·索菲斯·李（Marius Sophus Lie，）挪威数学家。李群和李代数的创始人。.
維度
维度，又稱维数，是数学中独立参数的数目。在物理学和哲学的领域内，指独立的时空坐标的数目。 0维是一點，沒有長度。1维是線，只有長度。2维是一個平面，是由長度和寬度（或曲線）形成面積。3维是2维加上高度形成「體積面」。雖然在一般人中習慣了整數维，但在碎形中維度不一定是整數，可能会是一个非整的有理数或者无理数。 我们周围的空间有3个维（上下、前后、左右）。我們可以往上下、東南西北移動，其他方向的移動只需用3個三维空間軸來表示。向下移就等於負方向地向上移，向西北移就只是向西和向北移的混合。 在物理學上時間是第四维，與三個空間维不同的是，它只有一個，且只能往一方向前進。 我们所居於的时空有四个维（3个空间轴和1个时间轴），根據愛因斯坦的概念稱為四维时空，我們的宇宙是由時间和空间構成，而這條時間軸是一條虛數值的軸。 弦理論認為我們所居於的宇宙實際上有更多的維度（通常10、11或24個）。但是這些附加的维度所量度的是次原子大小的宇宙。 维度是理论模型，在非古典物理学中这点更为明显。所以不用计较宇宙的维数是多少，只要方便描述就行了。 在物理學中，質的量纲通常以質的基本單位表示：例如，速率的量纲就是長度除以時間。.
緊群
在數學中，緊群是其拓撲為緊緻的的拓撲群。緊群是帶有離散拓撲的有限群的自然推廣，并以顯著方式延續了一些性質。緊群的理論已被人们深入研究，與群作用和群表示論有關。 下面我們假定所有群都是豪斯多夫空間，因為這個覆蓋了所有有價值的情況。.
约瑟夫·刘维尔
约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville，）是19世纪的法国数学家，生于加来海峡省的圣奥梅尔。刘维尔一生从事数学、力学和天文学的研究，涉足广泛，成果丰富，尤其对双周期椭圆函数、微分方程边值问题、数论中代数数的丢番图逼近问题和超越数有深入研究。刘维尔构造了所谓的“刘维尔数”并证明了其超越性，是第一个证实超越数的存在的人。.
约瑟夫·拉格朗日
约瑟夫·拉格朗日伯爵（Joseph Lagrange，），法国籍意大利裔数学家和天文学家。拉格朗日曾为普鲁士的腓特烈大帝在柏林工作了20年，被腓特烈大帝称做「欧洲最伟大的数学家」，后受法国国王路易十六的邀请定居巴黎直至去世。拉格朗日一生才华横溢，在数学、物理和天文等领域做出了很多重大的贡献。他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，创立了拉格朗日力学等等。 拉格朗日是18世纪一位十分重要的科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献，但他主要是数学家。他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用，使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具。同时在使天文学力学化、力学分析化上也起了历史性作用，促使力学和天文学（天体力学）更深入发展。在他的时代，分析学等分支刚刚起步，欠缺严密性和标准形式，但这不足以妨碍他取得大量的成果。.
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结合律
在數學中，結合律(associative laws)是二元運算可以有的一個性質，意指在一個包含有二個以上的可結合運算子的表示式，只要運算元的位置沒有改變，其運算的順序就不會對運算出來的值有影響。亦即，重新排列表示式中的括號並不會改變其值。例如： 上式中的括號雖然重新排列了，但表示式的值依然不變。當這在任何實數的加法上都成立時，我們說「實數的加法是一個可結合的運算」。 結合律不應該和交換律相混淆。交換律會改變表示式中運算元的位置，而結合律則不會。例如： 是一個結合律的例子，因為其中的括號改變了（且因此運算子在運算中的順序也改變了），而運算元5、2、1則在原來的位置中。再來， 則不是一個結合律的例子，因為運算元2和5的位置互換了。 可結合的運算在數學中是很常見的，且事實上，大多數的代數結構確實會需要它們的二元運算是可結合的。不過，也有許多重要且有趣的運算是不可結合的；其中一個簡單的例子為向量積。.
编码理论
编码理论（Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、電機工程學、数学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。 编码共分四类：.
置换群
数学上，一个置换群是一个群 G ，其元素是一个给定集 M 的置换，而其群作用是 G 中的置换（可以看作是从M到自身的双射）的复合；其关系经常写作 (G,M) 。注意所有置换的群是对称群；置换群通常是指对称群的一个子群。 n 个元素的置换群记为 S_n ；若 M 是任意有限或无限集合，则所有 M 的置换组成的对称群通常写作 \text(M) 。 置换群到被置换的元素的应用称为群作用；它在对称性和组合论以及数学的其他很多分支中有应用。.
置換
排列（Permutation）是將相異物件或符號根據確定的順序重排。每個順序都稱作一個排列對於不排序的情形，請見條目組合。。例如，從一到六的數字有720種排列，對應於由這些數字組成的所有不重複亦不闕漏的序列，例如"4, 5, 6, 1, 2, 3" 與1, 3, 5, 2, 4, 6。 置換的廣義概念在不同語境下有不同的形式定義：.
美國數學學會
美國數學學會（American Mathematical Society，缩写作 AMS）是美國進行數學研究和教育的組織，有不少出版品。前往英國時，受到倫敦數學學會的啟發而於1888年成立AMS。 AMS以TeX為基礎發展了。 AMS出版《數學評論》（Mathematical Reviews），這是數學出版品的評論資料庫。.
群同構
在抽象代數中，群同構是在兩個群之間的函數，它以關照到了群運算的方式架設了在群的元素之間的一一對應。如果兩個群之間存在一個同構，則這兩個群叫做同構的。從群論的立場看，同構的群有相同的性質而不要區分。.
群子集的乘積
在數學，若S和T為群G的子集，則其乘積為G的子集，其定義為 其中，S和T不必然需要是子群。其乘積的結合律源自群的結合律。因此，群子集的乘積定義出了一個於G冪集上的自然么半群結構。 即使S和T為G的子群，其乘積也不必然會是個子群。其乘積為子群若且唯若ST.
群上同調
在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。.
群作用
数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。.
群的展示
在數學中，展示是定義群的一種方法。通過指定生成元的集合 S 使得這個群的所有元素都可以寫為某些這種生成元的乘積，和這些生成元之間的關係的集合 R。稱 G 有展示 非正式的說，G 有上述展示如果它是 S 所生成的只服從關係 R 的“最自由的群”。正式的說，群 G 被稱為有上述展示如果它同構於 S 上的自由群模以關係 R 生成的正規子群的商群。 作為一個簡單的例子，n 階循環群有展示 這里的 e 是群單位元。它可以等價的寫為 因為把不包括等號的項認為是等于群單位元。這種項叫做關係元(relator)，區別於包括等號的關係。 所有群都有一個展示，并且事實上有很多不同的展示；展示經常是描述群結構的最簡潔方式。 一個密切關聯但不同的概念是群的絕對展示。.
群的生成集合
在抽象代數中，群 G 的生成集合是子集 S 使得所有 G 的所有元素都可以表達為 S 的元素和它們的逆元中的有限多個元素的乘積。 更一般的說，如果 S 是群 G 的子集，則 S 所生成的子群 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群，這意味著它是包含 S 元素的所有子群的交集；等價的說， 是可以用 S 的元素和它們的逆元中的有限多個元素的乘積表達的 G 的所有元素的子群。 如果 G.
群表示論
在群論中，群表示論（group representation theory）是一个非常重要的理論。它包含了（局部）緊緻群、李群、李代數及群概形的表示等種種分支，近來無限維表示理論也漸露頭角。表示理論在量子物理與數學的各領域中均有重要應用。.
群论
在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。 群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、-zh-hant:體;zh-hans:域-和向量空间等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群（linear algebraic groups）和李群作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。 群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。 群论中的重要结果，有限单群分类是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果，它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。.
爱尔兰根纲领
爱尔兰根纲领（Erlanger Programm；Erlangen program）是菲利克斯·克莱因于1872年发表一个深具影响的研究纲领，题为《新几何研究上比较的观点》（Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen），由于克莱因那个时候在爱尔兰根而得名。该纲领建议了对于那个时候的几何问题的一种新的解决办法。.
瓦爾特·法伊特
特·法伊特（Walter Feit，）是一位美國數學家，主要研究領域為有限群論及表示論。 法伊特生於維也納，並於1939年移居英格蘭。1946年，法伊特前往美國芝加哥大學攻讀學士學位，後於密西根大學完成博士學位，並先後於1952年及1964年在康乃爾大學及耶魯大學擔任教師。 法伊特最為人所知的成就為與約翰·格里格斯·湯普森一起證明出法伊特－湯普森定理。該定理敘述，所有奇數階的有限群都是可解群。在定理提出之際，該證明大概可說是史上曾出現過最為複雜與困難的數學證明。法伊特還寫過其他將近100篇的論文，大多數與有限群論、特徵標理論及模表示論等領域有關。 法伊特於1965年獲美國數學學會頒發柯爾獎，並獲選為美國國家科學院與美國文理科學院的院士。法伊特也曾擔任過國際數學聯盟的副總裁。 法伊特曾在1970年於尼斯舉辦的國際數學家大會上受邀演講。 法伊特逝世於康乃狄克州謝爾頓。.
當然群
在數學裡，當然群是指一個只包含單一元素e的群，其群運算只有e + e.
物理学
物理學（希臘文Φύσις，自然）是研究物質、能量的本質與性質，以及它們彼此之間交互作用的自然科學。由於物質與能量是所有科學研究的必須涉及的基本要素，所以物理學是自然科學中最基礎的學科之一。物理學是一種實驗科學，物理學者從觀測與分析大自然的各種基於物質與能量的現象來找出其中的模式。這些模式（假說）稱為「物理理論」，經得起實驗檢驗的常用物理理論稱為物理定律，直到有一天被證明是有錯誤為止(具可否證性)。物理學是由這些定律精緻地建構而成。物理學是自然科學中最基礎的學科之一。化學、生物學、考古學等等科學學術領域的理論都是建構於這些物理定律。 物理學是最古老的學術之一。物理學、化學、生物學等等原本都歸屬於自然哲學的範疇，直到十七世紀至十九世紀期間，才漸漸地從自然哲學中分別成長為獨立的學術領域。物理學與其它很多跨領域研究有相當的交集，如量子化學、生物物理學等等。物理學的疆界並不是固定不變的，物理學裡的創始突破時常可以用來解釋這些跨領域研究的基礎機制，有時還會開啟嶄新的跨領域研究。 通過創建新理論與發展新科技，物理學對於人類文明有極為顯著的貢獻。例如，由於電磁學的快速發展，電燈、電動機、家用電器等新產品纷纷涌现，人類社會的生活水平也得到大幅提升。由於核子物理學日趨成熟，核能發電已不再是藍圖構想，但其所引致的安全問題也使人們意識到地球環境、生態與人類的脆弱渺小。.
牛顿万有引力定律
万有引力定律（Newton's law of universal gravitation）指出，兩個質點彼此之間相互吸引的作用力，是與它們的質量乘積成正比，並與它們之間的距離成平方反比。 万有引力定律是由艾薩克·牛頓（Isaac Newton）稱之為歸納推理的經驗觀察得出的一般物理規律。它是經典力學的一部分，是在1687年于《自然哲学的数学原理》中首次發表的，并於1687年7月5日首次出版。當牛頓的書在1686年被提交給英國皇家學會時，羅伯特·胡克宣稱牛頓從他那裡得到了距離平方反比律。 此定律若按照現代語文，明示了：每一點質量都是通過指向沿著兩點相交線的力量來吸引每一個其它點的質量。力與兩個質量的乘積成正比，與它們之間的距離平方成反比。關於牛頓所明示質量之間萬有引力理論的第一個實驗，是英國科學家亨利·卡文迪什（Henry Cavendish）於1798年進行的卡文迪許實驗。這個實驗發生在牛頓原理出版111年之後，也是在他去世大約71年之後。 牛頓的引力定律類似於庫侖電力定律，用來計算兩個帶電體之間產生的電力的大小。兩者都是逆平方律，其中作用力與物體之間的距離平方成反比。庫侖定律是用兩個電荷來代替質量的乘積，用靜電常數代替引力常數。 牛頓定律的理論基礎，在現代的學術界已經被愛因斯坦的廣義相對論所取代。但它在大多數應用中仍然被用作重力效應的經典近似。只有在需要極端精確的時候，或者在處理非常強大的引力場的時候，比如那些在極其密集的物體上，或者在非常近的距離（比如水星繞太陽的軌道）時，才需要相對論。.
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狭义相对论
-- 狭义相对论（英文：Special relativity）是由爱因斯坦、洛仑兹和庞加莱等人创立的，應用在惯性参考系下的时空理论，是对牛顿时空观的拓展和修正。爱因斯坦在1905年完成的《論動體的電動力學》論文中提出了狭义相对论Albert Einstein (1905) "", Annalen der Physik 17: 891; 英文翻譯為George Barker Jeffery和 Wilfrid Perrett翻譯的(1923); 另一版英文翻譯為Megh Nad Saha翻譯的On the Electrodynamics of Moving Bodies(1920).
相變
變（Phase Change）是指物質在外部參數（如：溫度、壓力、磁場等等）連續變化之下，從一種相（態）忽然變成另一種相，最常見的是冰變成水和水變成蒸氣。然而，除了物體的三相變化（固態、液態、氣態）自然界還存在許許多多的相變現象，例如日常生活中另一種較常見的相變是加熱一塊磁鐵，磁鐵的鐵磁性忽然消失。其他在物理學中重要相變列舉如下：.
階 (群論)
在群論這一數學的分支裡，階這一詞被使用在兩個相關連的意義上：.
階乘
一个正整数的階乘（factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，并且有0的阶乘为1。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。 亦即n!.
芝加哥大学
芝加哥大学（University of Chicago），简称芝大（UChicago），位于美国伊利诺伊州芝加哥，是世界著名私立研究型大学，常年位列各大学排行榜世界前十。 芝加哥大学1890年由石油大王约翰·洛克菲勒创办，是美国大学协会的创始会员之一。芝加哥大学包括本科学院以及由4个系、6所职业学院和1所继续教育学院组成的各种研究生项目和跨学科委员会，并拥有约5000名本科生和10,000名研究生。 芝加哥大学的学者和研究人员在众多人文社科领域均开创了“芝加哥学派”，其中包括著名的“芝加哥经济学派”和“芝加哥社会学派” ；芝加哥大学还是法律经济学的诞生地，是经济学、社会学、法学、人类学等学科全球最重要的研究教学中心之一。 而从曼哈顿计划开始，大批科学家汇集于芝大，在“原子能之父”恩里科·费米的领导下建立了世界上第一台可控核反应堆（”芝加哥一号堆”）、成功开启了人类的原子能时代，并创立了美国第一所国家实验室阿贡国家实验室和之后著名的费米实验室，进而奠定了芝大在自然科学界的重要地位。 截止至2017年，芝加哥大学有97位教师和校友曾获得诺贝尔奖，位列世界第四。另有9位菲尔兹奖得主 、4位图灵奖得主、22位普利策奖得主在芝大工作或学习过，还有15位教授荣获过美国国家科学奖章，现任教授中有近70位美国国家科学院（44位）、美国国家工程院（9位）和美国国家医学院院士（14位）。美国第44任总统奥巴马曾长期在芝大法学院任教（1992-2004年）。 芝加哥大学是培养华人精英的两个摇篮和聚集地之一（另一个是柏克萊加州大學）。芝加哥大学培养了李政道、杨振宁和崔琦三个华人诺贝尔奖得主（其中，李政道和杨振宁实现华人诺奖零的突破），著名华裔政治家、中华民国前副总统、中國國民黨前主席连战，著名法学家梅汝璈，著名医学家吴阶平，著名物理学家叶企孙，著名气象学家郭晓岚，保釣運動健將林孝信教授，世界银行前高级副总裁林毅夫等等亦毕业于芝加哥大学或曾在芝大学习。诺贝尔化学奖得主李远哲、数学家陈省身等也曾长期在芝加哥大学任教。.
菲尔兹奖
費尔兹奖（Fields Medal），正式名称为国际杰出数学发现奖（The International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics），是一個在国际数学联盟的國際數學家大會上頒發的獎項。每四年评选2-4名有卓越贡献且年龄不超过40岁的数学家。得奖者须在该年元旦前未满四十岁。 奖项以加拿大數學家约翰·查尔斯·菲尔兹的名字命名。菲爾兹筹备设立该奖，并在遗嘱中捐出47,000元给奖项基金。 費尔兹奖被认为是年轻数学家的最高荣誉，和阿贝尔奖均被称为為数学界的諾貝爾獎。奖金有15,000加拿大元，约合13,767美元。而阿贝尔奖的奖金有600万瑞典克朗，约合100万美元，更接近诺贝尔奖。.
菲利克斯·克莱因
菲利克斯·克莱因（Felix Klein，），德国数学家。 “克莱因”(Klein)这个姓氏在德文中是“小”的意思。“菲利克斯”(Felix)则源于拉丁文，意为“幸运儿”。.
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表示论
表示論是數學中抽象代數的一支。旨在將抽象代数结构中的元素「表示」成向量空間上的線性變換，并研究这些代数结构上的模，藉以研究結構的性質。略言之，表示論將一代數對象表作較具體的矩陣，並使得原結構中的代数运算對應到矩陣加法和矩陣乘法。此法可施於群、結合代數及李代數等多種代數結構；其中肇源最早，用途也最廣的是群表示論。設G為群，其在域F（常取複數域F.
複分析
複變分析是研究複變函數，特別是亞純函數和複變解析函數的數學理論。 研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。複變分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。.
複數
#重定向 复数 (数学).
西羅定理
在數學裡，尤其是在群論內，西羅（Sylow）定理（以彼得·盧德維格·梅德爾·西羅來命名，或稱西洛定理）為拉格朗日定理的部份相反，拉格朗日定理敘述著若H是一個有限群G的子群，則H的目會整除G的目。西洛定理則保證，對於G之目的某些因數，會有對應此些因數的子群存在著，且會給出有關此類子群之數目的相關訊息。.
計算機代數系統
計算機代數系統（computer algebra system，縮寫作：CAS）是進行符號運算的軟件。這種系統的要件是數學表示式的符號運算。.
马蒂厄群
蒂厄群（Groupe de Mathieu）M11, M12, M22, M23, M24是5个多重传递置换群，次数分别为11、12、22、23、24。它们由法国数学家于19世纪60、70年代发现，也是最早被发现的散在单群。 马蒂厄群的阶分别为7920、95040、443520、10200960、244823040。 M11可看作是M12一个点的稳定子群，M22、M23则可看作M24两个点和一个点的稳定子群。 马蒂厄群中，M12与M24是5重传递群（其中M12为精确5重传递），M11与M23是4重传递群（其中M11为精确4重传递），M22则是3重传递群。.
調和分析
調和分析（Harmonic analysis）也稱為諧波分析，是數學中的一個分枝，是由基本波的叠加來表示其他函数或是信號，並且研究及擴展傅里叶级数及傅里叶变换（也是傅里叶分析的擴展）。自十九世紀以來，調和分析已用在許多的領域中，像是信號處理、量子力學、及神经科学。 Rn以下的經典傅里叶变换目前仍然是一個正在研究的領域，特別是將傅里叶变换應用在一些較廣義的概念下，例如缓增广义函数（tempered distribution）。例如若在某一分佈f上加上一些條件，也會試圖將此條件轉換到f的傅里叶变换上。即為此例。培力-威納定理指出若f是一個緊支撐下的非零分布（這裡包括緊支撐下的函數），則其傅里叶变换一定不會是緊支撐。這是調和分析下不确定性原理的一個基本形式。 調和分析中的調和（harmonic，或稱為諧波）起源自古希臘文harmonikos，意思是「有音樂上的技巧」。在物理的特徵值問題中，開始用harmonic一詞表示某些特定的波，其頻率是其他波頻率的整數倍，就像泛音列的頻率是第一泛音的整數倍一様，後來這個詞也漸漸擴展，超過原來的意思。 傅里叶级数也常用希尔伯特空间的方式來進行研究，因此調和分析和泛函分析也有一些關係。.
高等教育出版社
等教育出版社，簡稱高教社，是一家直属于中华人民共和国教育部的专业教育出版机构，成立于1954年5月，主要出版高等教育、职业教育、成人及社会教育等教育类、专业类、科技类出版物。.
计算机图形学
计算机图形学（computer graphics，縮寫为CG）是研究计算机在硬件和软件的帮助下创建计算机图形的科学学科，是计算机科学的一個分支領域，主要關注數位合成與操作視覺的圖形內容。雖然這個詞通常被認為是指三維圖形，事實上同時包括了二維圖形以及影像處理。.
计算机科学
计算机科学用于解决信息与计算的理论基础，以及实现和应用它们的实用技术。 计算机科学（computer science，有时缩写为CS）是系统性研究信息与计算的理论基础以及它们在计算机系统中如何与应用的实用技术的学科。 它通常被形容为对那些创造、描述以及转换信息的算法处理的系统研究。计算机科学包含很多分支领域；有些强调特定结果的计算，比如计算机图形学；而有些是探討计算问题的性质，比如计算复杂性理论；还有一些领域專注于怎样实现计算，比如程式語言理論是研究描述计算的方法，而程式设计是应用特定的程式語言解决特定的计算问题，人机交互则是專注于怎样使计算机和计算变得有用、好用，以及随时随地为人所用。 有时公众会误以为计算机科学就是解决计算机问题的事业（比如信息技术），或者只是与使用计算机的经验有关，如玩游戏、上网或者文字处理。其实计算机科学所关注的，不仅仅是去理解实现类似游戏、浏览器这些软件的程序的性质，更要通过现有的知识创造新的程序或者改进已有的程序。 尽管计算机科学（computer science）的名字里包含计算机这几个字，但实际上计算机科学相当数量的领域都不涉及计算机本身的研究。因此，一些新的名字被提议出来。某些重点大学的院系倾向于术语计算科学（computing science），以精确强调两者之间的不同。丹麦科学家Peter Naur建议使用术语"datalogy"，以反映这一事实，即科学学科是围绕着数据和数据处理，而不一定要涉及计算机。第一个使用这个术语的科学机构是哥本哈根大学Datalogy学院，该学院成立于1969年，Peter Naur便是第一任教授。这个术语主要被用于北欧国家。同时，在计算技术发展初期，《ACM通讯》建议了一些针对计算领域从业人员的术语：turingineer，turologist，flow-charts-man，applied meta-mathematician及applied epistemologist。 三个月后在同样的期刊上，comptologist被提出，第二年又变成了hypologist。 术语computics也曾经被提议过。在欧洲大陆，起源于信息（information）和数学或者自动（automatic）的名字比起源于计算机或者计算（computation）更常见，如informatique（法语），Informatik（德语），informatika（斯拉夫语族）。 著名计算机科学家Edsger Dijkstra曾经指出：“计算机科学并不只是关于计算机，就像天文学并不只是关于望远镜一样。”（"Computer science is no more about computers than astronomy is about telescopes."）设计、部署计算机和计算机系统通常被认为是非计算机科学学科的领域。例如，研究计算机硬件被看作是计算机工程的一部分，而对于商业计算机系统的研究和部署被称为信息技术或者信息系统。然而，现如今也越来越多地融合了各类计算机相关学科的思想。计算机科学研究也经常与其它学科交叉，比如心理学，认知科学，语言学，数学，物理学，统计学和经济学。 计算机科学被认为比其它科学学科与数学的联系更加密切，一些观察者说计算就是一门数学科学。 早期计算机科学受数学研究成果的影响很大，如Kurt Gödel和Alan Turing，这两个领域在某些学科，例如数理逻辑、范畴论、域理论和代数，也不断有有益的思想交流。.
诺特定理
诺特定理是理论物理的中心结果之一，它表达了连续对称性和守恒定律的一一对应。例如，物理定律不随着时间而改变，这表示它们有关于时间的某种对称性。如果我们想象一下，譬如重力的强度每天都有所改变，我们就会违反能量守恒定律，因为我们可以在重力弱的那天把重物举起，然后在重力强的时候放下来，这样就得到了比我们开始输入的能量更多的能量。 诺特定理对于所有基于作用量原理的物理定律是成立的。它得名于20世纪初的数学家埃米·诺特。诺特定理和量子力学深刻相关，因为它仅用经典力学的原理就可以认出和海森堡测不准原理相关的物理量（譬如位置和动量）。.
貝祖等式
在数论中，裴蜀等式（Bézout's identity）或貝祖定理（Bézout's lemma）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整數a、b和m，关于未知数x和y的線性丟番圖方程（称为裴蜀等式）： 有整数解时当且仅当m是a及b的最大公约数d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都稱為裴蜀數，可用擴展歐幾里得演算法求得。 例如，12和42的最大公因數是6，则方程12x+42y.
賦值向量環
在數論中，賦值向量環或阿代爾環（法文：adèle，英譯多用原文）是由一個域 F 的所有完備化構成的拓撲環 \mathbb_F，原域 F 可以對角方式嵌入其中。 在現代代數數論中，賦值向量環是處理整體問題的基本語言。 法文原文 adèle 是 idèle additif 的縮寫，其中 idèle 意指理想元（élément idéal）。adèle 也是法文中常見的女性名字。.
質元素
在數學裡，尤其是在抽象代數裡，交換環的質元素（prime element）是指滿足類似整數裡的質數或不可約多項式之性質的一個數學物件。須注意的是，質元素與不可約元素之間並不相同，雖然在唯一分解整環裡是一樣的，但在一般情況下則不一定相同。.
费马大定理
费马大定理，也称費馬最後定理（Le dernier théorème de Fermat)；(Fermat's Last Theorem），其概要為： 以上陳述由17世纪法国数学家费马提出，一直被稱為「费马猜想」，直到英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew John Wiles）及其學生理查·泰勒（Richard Taylor）於1995年將他們的證明出版後，才稱為「費馬大定理」。這個猜想最初出現費馬的《頁邊筆記》中。儘管費馬表明他已找到一個精妙的證明而頁邊没有足夠的空位寫下，但仍然經過數學家們三個多世紀的努力，猜想才變成了定理。在衝擊這個数论世紀难题的過程中，無論是不完全的還是最後完整的證明，都給數學界帶來很大的影響；很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生了，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅瓦理論和赫克代數等。這也令人懷疑當初費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯由於成功證明此定理，獲得了包括邵逸夫獎在内的数十个奖项。.
费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯
費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯（Ferdinand Georg Frobenius，）是德國數學家。他在微分方程理論和群論的成就是他最主要的貢獻。 弗羅貝尼烏斯生於柏林市郊的夏洛滕堡。他畢業於柏林大學。他於1870年完成的畢業論文是關於微分方程的解。指導教授是魏爾施特拉斯。其後幾年他在柏林任教，然後接受蘇黎世Polytechnicum（現為苏黎世联邦理工学院）的聘用。1893年他回到柏林，被選為普魯士科學院院士。.
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點群
在數學裡，點群是指固定一點不動之幾何對稱（等距同構）的群。.
连续函数
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。 举例来说，考虑描述一棵树的高度随时间而变化的函数h(t)，那么这个函数是连续的（除非树被砍断）。又例如，假设T(P)表示地球上某一点P的空气温度，则这个函数也是连续的。事实上，古典物理学中有一句格言：“自然界中，一切都是连续的。”相比之下，如果M(t)表述在时间t的时候银行账户上的钱币金额，则这个函数无论在存钱或者取钱的时候都会有跳跃，因此函数M(t)是不连续的。.
迪菲-赫爾曼密鑰交換
迪菲-赫爾曼密鑰交換（Diffie–Hellman key exchange，縮寫為D-H） 是一种安全协议。它可以让双方在完全没有对方任何预先信息的条件下通过不安全信道建立起一个密钥。这个密钥可以在后续的通讯中作为对称密钥来加密通讯内容。公鑰交換的概念最早由瑞夫·墨克（Ralph C. Merkle）提出，而這個密鑰交換方法，由惠特菲爾德·迪菲（Bailey Whitfield Diffie）和馬丁·赫爾曼（Martin Edward Hellman）在1976年首次發表。馬丁·赫爾曼曾主張這個密鑰交換方法，應被稱為迪菲-赫爾曼-墨克密鑰交換（Diffie–Hellman–Merkle key exchange）。 迪菲－赫尔曼密钥交换的同义词包括.
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舒尔引理
在数学中，舒尔引理（Schur's lemma）是群与代数的表示论中一个初等但非常有用的命题。在群的情形是说，如果M与N是群G的两个有限维不可约表示，φ是从M到N的与群作用可交换的线性映射，那么φ 可逆或φ.
舒尔正交关系
舒尔正交关系（Schur orthogonality relations）描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群，特别是紧李群，比如旋转群 SO(3)。此關係可藉由舒尔引理證明。.
阿瑟·凱萊
阿瑟·凱萊（Arthur Cayley，英語發音，），英國數學家。.
阿贝尔群
阿貝爾群（Abelian group）也稱爲交換群（commutative group）或可交換群，它是滿足其元素的運算不依賴於它們的次序（交換律公理）的群。阿貝爾群推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家尼尔斯·阿貝爾命名。 阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究對象是模和向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經被徹底地研究了。無限阿貝爾群理論則是目前正在研究的領域。.
闭包 (数学)
数学中，若对某个集合的成员进行一種运算，生成的仍然是这个集合的成员，则该集合被称为在這个运算下闭合。 例如，实数在减法下闭合，但自然数不行：自然数 3 和 7 的减法 3 − 7 的结果不是自然数。 类似的，一个集合被称为在某些运算的搜集下闭合，如果它在每个运算之下都闭合。 一个集合在某个运算或某些运算的搜集下闭合被称为满足闭包性质。闭包性质经常作为公理，通常叫做闭包公理。现代集合论通常这样定义：运算为在集合间的映射。所以向一个结构增加闭包性質作为公理是多余的，尽管它对于子集是否闭合的问题仍有意义。 当一个集合 S 在某个运算下不闭合的时候，我们通常可以找到包含 S 的最小的闭合集合。这个最小闭合集合被称为 S 的（关于这个运算的）闭包。例如，若把自然数集看作实数集的子集，它在减法下的闭包就是整数集。一个重要的例子是拓扑闭包。闭包的概念推广为伽罗瓦连接，进一步为。 注意集合 S 必须是闭合集合的子集，這樣才能定义闭包算子。在前面的例子中，实数在减法下闭合是重要的，减法不总是在自然数的定义域中有定义的。 闭包这个词的两种用法不应混淆。前者用来提及闭合的性质，而后者提及包含不闭合集合的最小闭合集合。简要的说，一个集合的闭包满足闭包性质。.
鑲嵌
鑲嵌可以指：.
邻域
在集合论中，邻域指以点 a 为中心的任何开区间，记作：U(a)。 在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。 这个概念密切关联于开集和内部的概念。.
铜
铜（copper）是化学元素，化学符号Cu（来自cuprum），原子序数29。纯铜是柔软的金属，表面刚切开时为红橙色帶金屬光澤、延展性好、导热性和导电性高，因此在电缆和电气、电子元件是最常用的材料，也可用作建筑材料，以及組成众多種合金。铜合金机械性能优异，电阻率很低，其中最重要的是青铜和黄铜。此外，铜也是耐用的金属，可以多次回收而无损其机械性能。 人类使用铜及其合金已有数千年历史。古罗马时期铜的主要开采地是塞浦路斯，因此最初得名cyprium（意为塞浦路斯的金属），后来变为cuprum，这是copper、cuivre和Kupfer的来源。二价铜盐是常见的铜化合物，常呈蓝色或绿色，是蓝铜矿和绿松石等矿物颜色的来源，历史上曾广泛用作颜料。铜质建筑结构受腐蚀后会产生铜绿（碱式碳酸铜）。装饰艺术主要使用金属铜和含铜的颜料。 铜是所有生物所必需的微量膳食矿物质，因为它是呼吸酶复合体细胞色素c氧化酶的关键组分。软体动物和甲壳亚门动物的血液色素血蓝蛋白中含有铜。鱼类和其他哺乳动物的血液中则是含铁的复合物血红蛋白。铜在人体中主要分布于肝脏、肌肉和骨骼中。铜的化合物可用作、杀真菌剂和木材防腐剂。.
量子力学
量子力学（quantum mechanics）是物理學的分支，主要描写微观的事物，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学，如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的學科，都是以其为基础。 19世紀末，人們發現舊有的經典理論無法解釋微观系统，於是經由物理學家的努力，在20世紀初創立量子力学，解釋了這些現象。量子力學從根本上改變人類對物質結構及其相互作用的理解。除透过广义相对论描写的引力外，迄今所有基本相互作用均可以在量子力学的框架内描述（量子场论）。 愛因斯坦可能是在科學文獻中最先給出術語「量子力學」的物理學者。.
量子场论
在理論物理學中，量子场论（Quantum field theory）是由量子力學和狹義相對論互相融合後的物理理論。已被廣泛的應用在粒子物理學和凝聚體物理學中。量子場論為描述多自由度系統，尤其是包含粒子產生和湮滅過程的過程，提供了有效的描述框架。非相對論性的量子場論又稱量子多體理論，主要被應用於凝聚體物理學，比如描述超導性的BCS理論。而相對論性的量子場論則是粒子物理學不可或缺的組成部分。自然界中人類目前所知的基本相互作用有四種：強相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和引力。除去引力的話，另外三種相互作用都已找到了合適滿足特定對稱性的量子場論來描述：強作用有量子色動力學；電磁相互作用有量子電動力學，理論框架建立於1920到1950年間，主要的貢獻者為保羅·狄拉克，弗拉迪米爾·福克，沃爾夫岡·泡利，朝永振一郎，施溫格，理查德·費曼和弗里曼·戴森等；弱作用有費米點作用理論。後來弱作用和電磁相互作用實現了形式上的統一，通過希格斯機制產生質量，建立了弱電統一的量子規範理論，即GWS（Glashow, Weinberg, Salam）模型。量子場論成為現代理論物理學的主流方法和工具。 而這些交互作用傳統上是由費曼圖來視覺化，並且提供簡便的計算規則來計算各種多體系統過程。.
自反关系
自反关系是在逻辑学和数学中一种特殊的二元关系，这样的二元关系被称为自反的，也被称为具有自反性。自反關係的一個例子是關於實數集合的“等於”關係，因為每個實數都等於它自己。自反關係被認為擁有自反性或被認為具備自反性。对称性、传递性以及自反性是定義等價關係的三個屬性。.
自发对称破缺
自發對稱破缺（spontaneous symmetry breaking）是某些物理系統實現對稱性破缺的模式。當物理系統所遵守的自然定律具有某種對稱性，而物理系統本身並不具有這種對稱性，則稱此現象為自發對稱破缺。這是一種自發性過程（spontaneous process），由於這過程，本來具有這種對稱性的物理系統，最終變得不再具有這種對稱性，或不再表現出這種對稱性，因此這種對稱性被隱藏。因為自發對稱破缺，有些物理系統的運動方程式或拉格朗日量遵守這種對稱性，但是最低能量解答不具有這種對稱性。從描述物理現象的拉格朗日量或運動方程式，可以對於這現象做分析研究。 對稱性破缺主要分為自發對稱破缺與明顯對稱性破缺兩種。假若在物理系統的拉格朗日量裏存在著一個或多個違反某種對稱性的項目，因此導致系統的物理行為不具備這種對稱性，則稱此為明顯對稱性破缺。 如右圖所示，假設在墨西哥帽（sombrero）的帽頂有一個圓球。这個圓球是處於旋轉對稱性狀態，對於繞著帽子中心軸的旋轉，圓球的位置不變。這圓球也處於局部最大引力勢的狀態，極不稳定，稍加微擾，就可以促使圓球滾落至帽子谷底的任意位置，因此降低至最小引力勢位置，使得旋轉對稱性被打破。儘管這圓球在帽子谷底的所有可能位置因旋轉對稱性而相互關聯，圓球實際實現的帽子谷底位置不具有旋轉對稱性──對於繞著帽子中心軸的旋轉，圓球的位置會改變。 大多數物質的簡單相態或相變，例如晶體、磁鐵、一般超導體等等，可以從自發對稱破缺的觀點來了解。像分數量子霍爾效應（fractional quantum Hall effect）一類的拓扑相（topological phase）物質是值得注意的例外。.
自由群
在數學中，一個群 G 被稱作自由群，如果存在 G 的子集 S 使得 G 的任何元素都能唯一地表成由 S 中元素及其逆元組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如 st^.
自然数
数学中，自然数指用于计数（如「桌子上有三个苹果」）和定序（如「国内第三大城市」）的数字。用于计数时称之为基数，用于定序时称之为序数。 自然数的定义不一，可以指正整数 (1, 2, 3, 4, \ldots)，亦可以指非负整数 (0, 1, 2, 3, 4, \ldots)。前者多在数论中使用，后者多在集合论和计算机科学中使用，也是 标准中所采用的定义。 数学家一般以\mathbb代表以自然数组成的集合。自然数集是一個可數的，無上界的無窮集合。.
配合物
配位化合物（coordination complex），--，包含由中心原子或离子与几个配体分子或离子以配位键相结合而形成的复杂分子或离子，通常称为「配位单元」。凡是含有配位单元的化合物都称做配位化合物。研究配合物的化学分支称为配位化学。 配合物是化合物中较大的一个子类别，广泛应用于日常生活、工业生产及生命科学中，近些年来的发展尤其迅速。它不仅与无机化合物、有机金属化合物相關聯，并且与现今化学前沿的原子簇化学、配位催化及分子生物学都有很大的重叠。.
零
零可以指：.
集合
集合可以指：.
集合划分
在数学中，集合X的划分是把X分割到覆盖了X的全部元素而又不重叠的“部分”或“块”或“单元”中。更加形式的说，这些“单元”對于被划分的集合是既又相互排斥的。.
雅克·蒂茨
雅克·蒂茨（Jacques Tits，），法國數學家，生於比利時于克勒，1974年入籍法國。他發表非常多的個人和合著文章，範圍廣泛，以代數為主。.
雙曲群
數學的幾何群論上，雙曲群是指一種帶有度量的群，符合雙曲幾何的某些性質。雙曲群是米哈伊爾·格羅莫夫於1980年代初所創的概念。.
逻辑等价
在逻辑中，陈述p和q是逻辑等价的，如果它们有相同的逻辑内容。 p和q是语法等价的，如果每个都可以证明自另一个。p和q是语义等价的，如果它们在所有模型中有相同的真值。 逻辑等价经常混淆于实质等价。前者是在元语言中的一个陈述，断言关于目标语言中的陈述p和q的某个事情。而p和q的实质等价（常写为"p ↔ q"）自身是在目标语言中另一个陈述。但它们是有联系的，p和q是语法等价的，当且仅当p ↔ q是一个定理，而p和q是语义等价的，当且仅当p ↔ q是重言式。 逻辑等价有时表示为p ≡ q或p ⇔ q。但是，后者记号也用于实质等价。.
逆元素
數學中，逆元素（Inverse element）推廣了加法中的加法逆元和乘法中的倒數。直觀地說，它是一個可以取消另一給定元素運算的元素。.
除法
数学中，尤其是在基本计算裏，除法可以看成是「乘法的反运算」，也可以理解为「重复的减法」。除法运算的本质就是「把参与运算的除数变为1，得出被除数的值」。 例如：6 \div 3.
陪集
数学上，若G为群，H为其子群，而g为G中元素，则 仅当H为正规子群时，左右陪集相同，这也是子群正规性的一个定义。 陪集指某个G中子群的左或右陪集。因为Hg.
Graduate Texts in Mathematics
#重定向 數學研究生教材.
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P進數
进数是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域\mathbb到实数域\mathbb、复数域\mathbb的数系拓展不同，其具体在于所定义的“距离”概念。进数的距离概念建立在整数的整除性质上。给定素数，若两个数之差被的高次幂整除，那么这两个数距离就“接近”，幂次越高，距离越近。这种定义在数论性质上的“距离”能够反映同余的信息，使进数理论成为了数论研究中的有力工具。例如安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明中就用到了进数理论。 进数的概念首先由库尔特·亨泽尔于1897年构思并刻画，其发展动机主要是试图将幂级数方法引入到数论中，但现今进数的影响已远不止于此。例如可以在进数上建立p进数分析，将数论和分析的工具结合起来。此外进数在量子物理学、认知科学、计算机科学等领域都有应用。.
PlanetMath
PlanetMath是一本自由、協作的網絡數學百科全書。強調同行評審、嚴密、公開、具教育性、實時內容、內容互連、以及群體協作。PlanetMath的目標是成為一本綜合性的網絡數學百科全書。該企劃位於弗吉尼亚理工学院暨州立大学的數碼圖書館研究實驗室。 PlanetMath企劃開始於另一本網絡數學百科全書MathWorld因法院禁制令而下線的時候。其時CRC Press控告沃夫朗研究公司（Wolfram Research）與其員工埃立克·魏爾斯史甸（MathWorld創辦人）違反合約。（詳見MathWorld條目） PlanetMath使用知识共享 署名-相同方式共享 协议。開始寫作一篇新文章的作者將會成為該文章的擁有者；其後他可以選擇向其他的人或小組發出更改的授權。所有的內容都使用LaTeX格式來編寫。LaTeX是一個受數學家歡迎的排版系統：它需要使用者重新學習，但能夠產生出符合數學排版需要的高質素輸出。使用者可以明確地設定到其他文章的連結，系統亦會自動將某些字詞轉換成連接到已有文章的連結。每一篇文章都會使用美國數學學會的分類系統來分門別類。 使用者可以在文章上貼上補遺、勘誤表和討論。網站亦擁有一個用戶間傳遞私人訊息的系統。 以同行評審為中心的性質使得PlanetMath的內容比起MathWorld更與眾不同、更嚴密及更有學院味道。 運行PlanetMath的軟件使用了perl來編寫，並運行於Linux及Apache網頁伺服器上。軟件名稱為Noösphere，使用自由的BSD許可證來發行。.
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恩斯特·库默尔
恩斯特·爱德华·库默尔（Ernst Eduard Kummer，），德国数学家。.
模
在數學的抽象代數中，環上的模 (module over a ring)的概念是對向量空間概念的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體(field)，進而放寬純量可以是環(ring)。 因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的（在同環中的乘法一起用的時候）和分配律的。 模非常密切的關聯於群的表示理論。它們還是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛的用于代數幾何和代數拓撲中。.
欧几里得空间
欧几里得几何是在约公元前300年，由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理被编排到幾何原本。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n维欧几里得空间（甚至简称 n 维空间）或有限维实内积空间。 这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备）， 希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。 为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。 尽管结果的数学非常抽象，它却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，根本性质是它的平面性。 另存在其他種類的空间，例如球面非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。.
正交群
数学上，数域F上的n阶正交群，记作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群，由 这里QT是Q的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(n)。 更一般地，F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。 每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的n×n正交矩阵组成一个O(n,F)的正规子群，称为特殊正交群SO(n,F)。如果F的特征为2，那么1.
正规子群
在抽象代数中，正规子群或不变子群指一类特殊的子群。由正规子群，可以引导出商群的概念。 埃瓦里斯特·伽罗瓦是最早认识到正规子群的重要性的人。.
氢
氫是一種化學元素，其化學符號為H，原子序為1。氫的原子量為，是元素週期表中最輕的元素。單原子氫（H）是宇宙中最常見的化學物質，佔重子總質量的75%。等離子態的氫是主序星的主要成份。氫的最常見同位素是「氕」（此名稱甚少使用，符號為1H），含1個質子，不含中子；天然氫還含極少量的同位素「氘」（2H），含1個質子和1個中子。 氫原子最早在宇宙復合階段出現並遍佈全宇宙。在標準溫度和壓力之下，氫形成雙原子分子（分子式為H2），呈無色、無臭、無味非金屬氣體，不具毒性，高度易燃。氫很容易和大部份非金屬元素形成共價鍵，所以地球上大部份的氫都以分子的形態存在，比如水和有機化合物等。氫在酸鹼反應中尤其重要，因為在這類反應中各種分子須互相交換質子。在離子化合物中，氫原子可以獲得一個電子成為氫陰離子（H−），或失去一個電子成為氫陽離子（H+）。雖然在一般寫法中，氫陽離子就是質子，但在實際化合物中，氫陽離子的實際結構是更為複雜的。氫原子是唯一一個有薛定諤方程式解析解的原子，所以對氫原子模型的研究在量子力學的發展過程中起到了關鍵的作用。 16世紀，人們通過混合金屬和強酸，首次製備出氫氣。1766至1781年，亨利·卡文迪什第一次發現氫氣是一種獨立的物質，燃燒後會產生水。安東萬-羅倫·德·拉瓦節根據這一性質，將其命名為「Hydrogen」，在希臘文中意為「生成水的物質」。19世纪50年代，英国医生合信编写《博物新编》（1855年）时，把元素名翻译为“轻气”，成為今天中文「氫」字的來源。 氫氣的工業生產主要使用天然氣的蒸汽重整過程，或通過能源消耗更高的水電解反應。大部份的氫氣都在生產地點直接使用，主要應用包括化石燃料處理（如裂化反應）和氨生產（一般用於化肥工業）。在冶金學上，氫氣會對許多金屬造成氫脆現象，使運輸管和儲存罐的設計更加複雜。.
氧
氧（IUPAC名：Oxygen）是一種化學元素，符號為O，原子序為8，在元素週期表中屬於氧族。氧屬於非金屬，是具有高反應性的氧化劑，能夠與大部分元素以及其他化合物形成氧化物。氧在宇宙中的總質量在所有元素中位列第三，僅居氫和氦之下。Emsley 2001, p.297在標準溫度和壓力下，兩個氧原子会自然鍵合，形成無色無味的氧氣，即雙原子氧（）。氧氣是地球大氣層的主要成分之一，在體積上佔20.8%。地球地殼中近一半的質量都是由氧和氧化物所組成。 氧是細胞呼吸作用中重要的元素。在生物體中，主要有機分子，如蛋白質、核酸、碳水化合物和脂肪等，還有組成動物外殼、牙齒和骨骼的無機化合物，都含有氧原子。生物體絕大部分的質量都由含氧原子的水組成。光合作用利用陽光的能量把水和二氧化碳轉化為氧氣。氧氣的化學反應性強，容易與其他元素結合，所以大氣層中的氧氣成分只能通過生物的光合作用持續補充。臭氧（）是氧元素的另一種同素異構體，能夠較好地吸收中紫外線輻射。位於高海拔的臭氧層有助阻擋紫外線，從而保護生物圈。不過，在地表上的臭氧屬於污染物，為霧霾的副產品之一。在低地球軌道高度的單原子氧足以對航天器造成腐蝕。 卡爾·威廉·舍勒於1773年或之前在烏普薩拉最早發現氧元素。約瑟夫·普利斯特里亦於1774年在威爾特郡獨立發現氧，因為其成果的發表日期較舍勒早，所以一般被譽為氧的發現者。1777年，安東萬-羅倫·德·拉瓦節進行了一系列有關氧的實驗，推翻了當時用於解釋燃燒和腐蝕的燃素說。他也提出了氧的現用IUPAC名稱「oxygen」，源自希臘語中的「ὀξύς」（oxys，尖銳，指酸）和「-γενής」（-genes，產生者）。這是因為命名之時，人們曾以為所有酸都必須含有氧。許多化學詞彙都在清末傳入中國，其中原法文元素名「oxygène」被譯為「養」，後譯為「氱」，最終演變為今天的中文名「氧」。 氧的應用包括暖氣、內燃機、鋼鐵、塑料和布料的生產、金屬氣焊和氣割、火箭推進劑、及航空器、潛艇、載人航天器和潛水所用的生命保障系統。.
氨
氨（Ammonia，或称氨氣、阿摩尼亞或無水氨，分子式为NH3）是无色气体，有强烈的刺激气味，极易溶于水。常温常压下，1單位体积水可溶解700倍体积的氨。氨對地球上的生物相當重要，是所有食物和肥料的重要成分。氨也是很多藥物和商業清潔用品直接或间接的組成部分，具有腐蝕性等危險性质。 由於氨有廣泛的用途，成為世界上產量最多的無機化合物之一，約八成用於製作化肥。2006年，氨的全球產量估計為1.465億吨，主要用於製造商業清潔產品。 氨可以提供孤電子對，所以也是路易斯鹼。.
氮
氮是一种化学元素，其化学符号为N；原子序数是7。在自然界中氮单质最普遍的形态是氮气，这是一种在标准状况下无色无味无臭的雙原子气体分子，由于化学性质稳定而不容易发生化學反应。氮气是地球大气中含量最多的气体，佔總體積的78.09%。1772年在苏格兰爱丁堡，由丹尼尔·卢瑟福分離空氣後发现。氮属于氮族元素中的一种。 氮是宇宙中常見的元素，在銀河系及太陽系的豐度排第七名。其生成的原因推測是由於超新星中碳和氫產生的核融合。由於氮元素及其和氫、氧形成的常见化合物都极易揮發，因此在內太陽系中的類地行星中氮元素較不常見。不過和地球一样，其他行星及其卫星的大氣層中，气态的氮及其化合物很常见。 很多工业上很重要的化合物（比如氨、硝酸、用作推进剂或炸药的有机硝酸盐以及氰化物）都含有氮原子。氮原子之间具有非常牢固的化学键，无论是在工业中或是在生物体內，将转化为有用的含氮化合物都是很不容易的。相应的，当含氮化合物燃烧，爆炸或分解时会产生氮气，并通常可以释放大量有用的能量。合成产生的氨和硝酸盐是关键的工业化肥料，而硝酸盐肥料是引起水系统富营养化的关键污染物。 含氮化合物除了作为肥料和能量储存的功用之外还有其他多种用途。氮是克維拉纤维和氰基丙烯酸酯强力胶水等多种材料的组成部分。在各种药学药品的大类中（包括抗生素）都含有氮元素。许多药物都是天然含氮信号分子的类似物或前体药物。比如，有机硝酸盐硝酸甘油和硝普钠在体内代谢产生一氧化氮以控制血压。植物中的生物鹼（经常是防卫性化合物）根据定义是含有氮的，许多知名的含氮药物（比如咖啡因和吗啡）是生物碱或是合成的天然产物类似物，像许多植物生物碱一样用作于动物体内的神经传导物质的接收器上（例如合成苯丙胺）。 氮主要存在于所有的有机体的氨基酸（以及蛋白质）和核酸（DNA和RNA）之中。人类身体中的3%的重量都是氮元素构成的，其含量仅次于氧元素、碳元素和氢元素。氮循环是指氮元素从空气进入生物圈和有机化合物中然后再返回大气的转移过程。.
洛伦兹变换
洛伦兹变换是观测者在不同惯性参照系之间对物理量进行测量时所进行的转换关系，在数学上表现为一套方程組。洛伦兹变换因其创立者——荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹而得名。洛伦兹变换最初用来调和19世纪建立起来的经典电动力学同牛顿力学之间的矛盾，后来成为狭义相对论中的基本方程组。.
減法
減法是尋找兩個數的差的算术運算，可視為「加法的逆運算」。減法是符號是減號（-）。加、減、乘、除合稱四則運算。 在數式5 - 3.
满射
满射或蓋射（surjection、onto），或稱满射函数或映成函數，一个函数f:X\rightarrow Y为满射，則对于任意的陪域 Y 中的元素 y，在函数的定义域 X 中存在一點 x 使得 f(x).
有理数
数学上，可以表达为两个整数比的数(a/b, b≠0)被定义为有理数，例如3/8，0.75(可被表达为3/4)。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是无理数，如\sqrt无法用整数比表示。 有理数与分數的区别，分數是一种表示比值的记法，如 分數\sqrt/2 是无理数。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或\mathbb。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。.
有限單群分類
有限單群的分類是代數學裡的一個巨大的工程。有關的文章大多發表於1955年至2004年，本条目英文版。之間，目的在於將所有的有限簡單群都給清楚地分類。這項工程總計約有100位作者在500篇期刊文章中寫下了上萬頁的文字。.
有限群
在數學裡，有限群是有著有限多個元素的群。有限群理論中的某些部份在20世紀有著很深的研究，尤其是在局部分析和可解群與冪零群的理論中。期望有個完整的理論是太過火了：其複雜性會隨著群變得越大時而變得壓倒性地巨大。 較少壓倒性地，但仍然很有趣的是在有限域上的一些較小一般線性群。群論學家曾寫過：「有限群的典型例子為GL(n,q)－在q個元素的域上的n維一般線性群。學生在學此領域時，若以其他的例子來做介紹，則可能會被完全地誤導。（Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, 10 (1984) 121）此類型最小的群GL(2,3)的討論，見。 有限群和對稱有直接地關接，當其被限制在有限個轉變時。 其證明為，連續對稱，如李群中的，也會導致有限群，如外爾群。在此一方面，有限群和其性質將能夠用在如理論物理問題的重要地方，即使其用途在一開始並不顯著。 每一質數階的有限群都是循環群。.
有限生成阿貝爾群
在抽象代數中，阿貝爾群 (G,+) 叫做有限生成的，如果存在 G 中有限多個元素 x1,...,xs 使得所有 G 中的 x 可以寫為如下形式 n1,...,ns 是整數。在這種情況下，我們稱集合 是 G 的生成集，或 x1,...,xs 生成了 G。 明顯的有所有限阿貝爾群都是有限生成的。有限生成的阿貝爾群帶有相當簡單的結構并可以被完全的分類，我們后面會講到。.
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有限集合
数学中，一个集合被称为有限集合，簡單來說就是元素個數有限，嚴格而言則是指有一个自然数n使该集合与集合之间存在双射。例如 -15到3之间的整数组成的集合，这个集合有19个元素，它跟集合存在雙射，所以它是有限的。不是有限的集合称为无限集合。 也就是说如果一个集合的基数是自然数，那这个集合就是有限的。所有的有限集合都是可数的，但并不是所有的可数集都是有限的，例如所有素数的集合。 有一个定理（戴德金定理）是：一个集合是有限的当且仅当不存在一个该集合与它的任何一个真子集之间的双射。 I I.
流形
流形（Manifolds），是局部具有欧几里得空间性质的空间，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。 流形在数学中用于描述几何形体，它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。位形空间中也可以定义流形。环面就是双摆的位形空间。 一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析几何结构看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。例如一个多项式，如果你知道 (0,1) 区间的取值，则整个实数范围的值都是固定的，所以局部的变动会导致全局的变化。光滑流形可以看作是介于两者之间的模型：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。这也许是中文译名“流形”的原因（整体的形态可以流动）。该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。.
方程
数学中方程可以简单的理解为含有未知数的等式。例如以下的方程： 其中的x為未知數。 如果把数学当作语言，那么方程可以为人们提供一些用来描述他们所感兴趣的对象的语法，它可以把未知的元素包含到陈述句当中（比如用“相等”这个词来构成的陈述句），因此如果人们对某些未知的元素感兴趣，但是用数学语言去精确地表达那些确定未知元素的条件时需要用到未知元素本身，这时人们就常常用方程来描述那些条件，并且形成这样一个问题：能使这些条件满足的元素是什么？在某个集合内，能使方程中所描述的条件被满足的元素称为方程在这个集合中的解（比如代入某个數到含未知数的等式，使等式中等号左右两边相等）。 求出方程的解或说明方程无解这一过程叫做解方程。可以用方程的解的存在状况为方程分类，例如，恒等式即恒成立的方程，例如(y + 2)^2.
方根
在数学中，若一個數b為数a的n次方根，則b^n.
时空
时空（时间-空间，时间和空间）是一种基本概念，分别属于物理学、天文学、空间物理学和哲学。并且也是这几个学科最重要的最基本的概念之一。 空间在力学和物理学上，是描述物体以及其运动的位置、形状和方向等抽象概念；而时间则是描述运动之持续性，事件发生之顺序等。时空的特性，主要就是通过物体，其运动以及与其他物体的相互作用之间的各种关系之汇总。空间和时.
时间
時間是一种尺度，在物理定义是标量，藉著时间，事件发生之先后可以按过去-现在-未来之序列得以确定（时间点），也可以衡量事件持續的期間以及事件之間和间隔长短（时间段） 。時間是除了空間三個維度以外的第四維度。 長久以來，時間一直是宗教、哲學及科學領域的研究主題之一，但學者們尚且無法為時間找到一個可以適用於各領域、具有一致性且又不循環的定義 。然而在商業、工業、體育、科學及表演藝術等領域都有一些各自來標示及度量時間的方法 108 pages 。一些簡單，爭議較小的定義包括「時間是時鐘量測的物理量。」及「時間使得所有事情不會同時發生。」， 哲學家對於時間有兩派不同的觀點：一派認為時間是宇宙的基本結構，是一個會依序列方式出現的維度，像艾萨克·牛顿就對時間有這樣的觀點。包括戈特弗里德·莱布尼茨及伊曼努爾·康德在內的另一派認為時間不是任何一種已經存在的維度，也不是任何會「流動」的實存物，時間只是一種心智的概念，配合空間和數可以讓人類對事件進行排序和比較。換句話說，時間不過是人為便於思考宇宙，而對物質運動劃分，是一種人定規則。例如：愛因斯坦就曾運用相對論的概念來描述比喻時間對心理層面上的影響，藉此解釋時間並非是絕對的。.
旋转
旋转在几何和线性代数中是描述刚体围绕一个固定点的运动的在平面或空间中的变换。旋转不同于没有固定点的平移，和翻转变换的形体的反射。旋转和上面提及的变换是等距的，它们保留在任何两点之间的距离在变换之后不变。.
数学
数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.
数学归纳法
数学归纳法（Mathematical Induction、MI、ID）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。 虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事實上，所有數學證明都是演繹法。.
数学分析
数学分析（mathematical analysis）区别于其他非数学类学生的高等数学内容，是分析学中最古老、最基本的分支，一般指以微积分学、无穷级数和解析函數等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数、測度和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。出自《数学辞海（第一卷）》 数学分析研究的內容包括實數、複數、實函數及複變函數。数学分析是由微積分演進而來，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综合性分析方法，且初等微積分中也包括許多數學分析的基礎概念及技巧，可以认为这些应用方法是高等微积分生成的前提。数学分析的方式和其幾何有關，不過只要任一數學空間有定義鄰域（拓扑空间）或是有針對兩物件距離的定義（度量空间），就可以用数学分析的方式進行分析。.
数论
數論是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性質。被譽為「最純」的數學領域。 正整数按乘法性质划分，可以分成質数，合数，1，質数產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數猜想等，即。很多問題虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。 整数可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。 數論早期稱為算術。到20世紀初，才開始使用數論的名稱，而算術一詞則表示「基本運算」，不過在20世紀的後半，有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。1952年時數學家Harold Davenport仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」。 卡尔·弗里德里希·高斯曾說：「數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。.
整数
整数，是序列中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常表示粗體Z或\mathbb，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。 在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。.
整数模n乘法群
在同余理论中，模 n 的互质同余类组成一个乘法群，称为整数模 n 乘法群，也称为模 n 既约剩余类。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模 n 的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。 这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和-zh-hans: 素性测试; zh-hant: 質數測試-均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的“大小”），我们可以确定如果 n 是质数当且仅当阶数为 n-1。.
數學評論
《數學評論》（Mathematical Reviews）是美國數學學會發行的一份雜誌兼線上資料庫，內含數學、統計學與計算機科學領域出版品的摘要或評價。部份評論也有發行單行本。.
拓撲學術語
這裡列出的是在數學領域中的一分支拓撲學所常使用的一些術語。雖然在拓撲學的許多子類中，術語上的使用差異並不是很大，但是這裡主要是針對一般拓撲學（或稱點集拓撲）來編寫。這些術語也是其它學門如代數拓扑、微分拓扑和幾何拓扑中的基本術語。 關於一些基本的定義，請參閱拓扑空間的條目，關於拓撲學的簡史，請參閱拓撲學。關於集合以及函數的基本定義，請參閱樸素集合論、公理集合論，和函數。下面所列出的條目對拓撲學的瞭解也有幫助，這些文章中包含了某些一般拓撲學中的特別字彙，我們所列出的有些術語將在以下做更詳盡的解釋。一般拓撲學專題列表和一般拓撲學的例子列表也非常有用。.
拓扑学
在數學裡，拓撲學（topology），或意譯為位相幾何學，是一門研究拓撲空間的學科，主要研究空間內，在連續變化（如拉伸或彎曲，但不包括撕開或黏合）下維持不變的性質。在拓撲學裡，重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。 拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茲，他在17世紀提出「位置的幾何學」（geometria situs）和「位相分析」（analysis situs）的說法。莱昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。「拓撲學」一詞由利斯廷於19世紀提出，雖然直到20世紀初，拓撲空間的概念才開始發展起來。到了20世紀中葉，拓撲學已成為數學的一大分支。 拓撲學有許多子領域：.
拉格朗日定理 (群論)
拉格朗日定理是群論的定理，利用陪集證明了子群的階一定是有限群的階的因數值。.
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0（〇／零）是-1与1之间的整数。0既不是正数也不是负数。0是偶数。在数论中，0不属于自然数；在集合论和计算机科学中，0属于自然数。0在整数、实数和其他的代数結構中都有著單位元這個很重要的性質。.
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有理域。
