哈密顿-雅可比-贝尔曼方程和理查德·貝爾曼

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哈密顿-雅可比-贝尔曼方程和理查德·貝爾曼之间的区别

哈密顿-雅可比-贝尔曼方程 vs. 理查德·貝爾曼

哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation，簡稱HJB方程）是一個偏微分方程，是最佳控制的中心。HJB方程式的解是針對特定動態系統及相關成本函數下，有最小成本的實值函數。 若只在某一個區域求解，HJB方程是一個必要條件，若是在整個狀態空間下求解，HJB方程是充份必要條件。其解是針對開迴路的系統，但也允許針對閉迴路系統求解。HJB方程也可以擴展到隨機系統。 一些經典的變分問題，例如最速降線問題，可以用此方法求解。 HJB方程的基礎是以1950年代由理查德·貝爾曼及其同仁提出的動態規劃。對應的離散系統方程式一般稱為貝爾曼方程。在連續時間的結果可以視為由卡爾·雅可比及威廉·哈密頓提出，經典力學中哈密顿－雅可比方程的延伸。. 查德·貝爾曼（Richard Bellman，），美國應用數學家，美國國家科學院院士，和動態規劃的創始人。 貝爾曼先後在佈魯克林學院和威斯康星大學學習數學。隨後他在洛斯·阿拉莫斯為一個理論物理部門的團體工作。他在所羅門·萊夫謝茨的指導下與1946年獲得普林斯頓大學博士學位。 貝爾曼曾是南加州大學教授，美國藝術與科學研究院研究院（1975年）以及美國國家工程院院士（1977年）。他在1979年被授予电气电子工程师协会獎，由於其在“決策過程和控制系統理論方面的貢獻，特別是動態規劃的發明和應用。”他的主要工作是貝爾曼方程（Bellman方程）。.

貝爾曼方程

貝爾曼方程（Bellman Equation）」也被稱作「動態規劃方程（Dynamic Programming Equation）」，由理查·貝爾曼（Richard Bellman）發現。貝爾曼方程是動態規劃（Dynamic Programming）這種數學最佳化方法能夠達到最佳化的必要條件。此方程將「決策問題在特定時間點的值」以「來自初始選擇的報酬 及 由初始選擇衍生的決策問題的值」的形式表示。藉這個方式將動態最佳化問題變成較簡單的子問題，而這些子問題遵守由貝爾曼所提出的「最佳化原理」。 貝爾曼方程最早應用在工程領域的控制理論及其他應用數學領域，而後成為經濟學上的重要工具。 幾乎所有可以用最佳控制理論（Optimal Control Theory）解決的問題也可以透過分析合適的貝爾曼方程得到解決。然而，「貝爾曼方程」通常指離散時間（discrete-time）最佳化問題的動態規劃方程。處理連續時間（continuous-time）最佳化問題上，也有類似的偏微分方程，稱作漢彌爾頓-雅各比-貝爾曼方程（Hamilton–Jacobi–Bellman Equation, HJB Equation）。.

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