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卷积和拉普拉斯变换

快捷方式: 差异相似杰卡德相似系数参考

卷积和拉普拉斯变换之间的区别

卷积 vs. 拉普拉斯变换

在泛函分析中,捲積、疊積、--積或旋積,是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子,表徵函数f与经过翻转和平移的g的乘積函數所圍成的曲邊梯形的面積。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数,卷积还可以被看作是“滑動平均”的推广。. 拉普拉斯变换(Laplace transform)是应用数学中常用的一种积分变换,又名拉氏轉換,其符號為 \displaystyle\mathcal \left\。拉氏變換是一個線性變換,可將一個有引數實數 t(t \ge 0) 的函數轉換為一個引數為複數 s 的函數: 拉氏變換在大部份的應用中都是對射的,最常見的 f(t) 和 F(s) 組合常印製成表,方便查閱。拉普拉斯变换得名自法國天文學家暨數學家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace),他在機率論的研究中首先引入了拉氏變換。 拉氏變換和傅里叶变换有關,不過傅里叶变换將一個函數或是信號表示為許多弦波的疊加,而拉氏變換則是將一個函數表示為許多矩的疊加。拉氏變換常用來求解微分方程及積分方程。在物理及工程上常用來分析線性非時變系統,可用來分析電子電路、諧振子、光学仪器及機械設備。在這些分析中,拉氏變換可以作時域和頻域之間的轉換,在時域中輸入和輸出都是時間的函數,在頻域中輸入和輸出則是複變角頻率的函數,單位是弧度每秒。 對於一個簡單的系統,拉氏變換提供另一種系統的描述方程,可以簡化分析系統行為的時間。像時域下的線性非時變系統,在頻域下會轉換為代數方程,在時域下的捲積會變成頻域下的乘法。.

之间卷积和拉普拉斯变换相似

卷积和拉普拉斯变换有(在联盟百科)12共同点: 双边拉普拉斯变换复数实数互相关微分傅里叶变换冲激响应勒貝格積分頻域Mellin 变换Z轉換概率论

双边拉普拉斯变换

双边拉普拉斯变换是一種积分变换,其形式類似機率中的動差生成函數,双边拉普拉斯变换和傅立葉變換、Mellin 變換及單邊的拉普拉斯变换有緊密的關係。若ƒ(t)為實數t的實數函數或是複變函數,t可以為任意實數,則双边拉普拉斯变换可以用以下的積分表示: \int_^\infty e^ f(t) \,dt.

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复数

#重定向 复数 (数学).

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实数

实数,是有理數和無理數的总称,前者如0、-4、81/7;后者如\sqrt、\pi等。实数可以直观地看作小數(有限或無限的),它們能把数轴「填滿」。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。实数和虚数共同构成复数。 根据日常经验,有理數集在數軸上似乎是「稠密」的,于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1公分的正方形為例,其對角線有多長?在規定的精度下(比如誤差小於0.001公分),總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果(比如1.414公分)。但是,古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現,只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度,這徹底地打擊了他們的數學理念;他們原以為:.

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互相关

在统计学中,互相关有时用来表示两个随机矢量 X 和 Y 之间的协方差cov(X, Y),以与矢量 X 的“协方差”概念相区分,矢量 X 的“协方差”是 X 的各标量成分之间的协方差矩阵。 在信号处理领域中,互相关(有时也称为“互协方差”)是用来表示两个信号之间相似性的一个度量,通常通过与已知信号比较用于寻找未知信号中的特性。它是两个信号之间相对于时间的一个函数,有时也称为“滑动点积”,在模式识别以及密码分析学领域都有应用。 对于离散函数 fi 和 gi 来说,互相关定义为 其中和在整个可能的整数 j 区域取和,星号表示复共轭。对于连续信号 f(x) 和 g(x) 来说,互相关定义为 其中积分是在整个可能的 t 区域积分。 互相关实质上类似于两个函数的卷积。.

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微分

在数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。当某些函数\textstyle f的自变量\textstyle x有一个微小的改变\textstyle h时,函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分:在一维情况下,它正比于自变量的变化量\textstyle h,可以表示成\textstyle h和一个与\textstyle h无关,只与函数\textstyle f及\textstyle x有关的量的乘积;在更广泛的情况下,它是一个线性映射作用在\textstyle h上的值。另一部分是比\textstyle h更高阶的无穷小,也就是说除以\textstyle h后仍然会趋于零。当改变量\textstyle h很小时,第二部分可以忽略不计,函数的变化量约等于第一部分,也就是函数在\textstyle x处的微分,记作\displaystyle f'(x)h或\displaystyle \textrmf_x(h)。如果一个函数在某处具有以上的性质,就称此函数在该点可微。 不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微,便称函数在该点不可微。 在古典的微积分学中,微分被定义为变化量的线性部分,在现代的定义中,微分被定义为将自变量的改变量\textstyle h映射到变化量的线性部分的线性映射\displaystyle \textrmf_x。这个映射也被称为切映射。.

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傅里叶变换

傅里叶变换(Transformation de Fourier、Fourier transform)是一种線性积分变换,用于信号在时域(或空域)和频域之间的变换,在物理学和工程学中有许多应用。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。实际上傅里叶变换就像化学分析,确定物质的基本成分;信号来自自然界,也可对其进行分析,确定其基本成分。 经傅里叶变换生成的函数 \hat f 称作原函数 f 的傅里叶变换、亦称频谱。在許多情況下,傅里叶变换是可逆的,即可通过 \hat f 得到其原函数 f。通常情况下,f 是实数函数,而 \hat f 则是复数函数,用一个复数来表示振幅和相位。 “傅里叶变换”一词既指变换操作本身(将函数 f 进行傅里叶变换),又指该操作所生成的复数函数(\hat f 是 f 的傅里叶变换)。.

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冲激响应

在信号处理中,脈衝響應(Impulse response)一般是指系统在输入为单位冲激函数时的输出(响应)。对于连续时间系统来说,冲激响应一般用函数h(t;\tau)来表示,相对应的输入信号,也就是单位冲激函数满足狄拉克δ函数的形式,其函数定义如下: 并且,在从负无穷到正无穷区间内积分为1: 在输入为狄拉克δ函数时,系统的冲激响应h(t)包含了系统的所有信息。所以对于任意输入信号x(t),可以用连续域卷积的方法得出所对应的输出y(t)。也就是: 对于离散时间系统来说,冲激响应一般用序列h来表示,相对应的离散输入信号,也就是单位脉冲函数满足克罗内克δ的形式,在信号与系统科学中可以定义函数如下: 同样道理,在输入为\delta时,离散系统的冲激响应h包含了系统的所有信息。所以对于任意输入信号x,可以用离散域卷积(求和)的方法得出所对应的输出信号y。也就是:.

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勒貝格積分

勒貝格積分(Lebesgue integral)是现代数学中的一个积分概念,它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下,对一个非负值的函数的积分可以看作是函数图像与x轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到更廣的函数(可測函數),并且也扩展了可以进行积分运算的集合(可測空間)。最早的积分运算对于非负值的函数来说,其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积(也就是黎曼積分),但這過程需要函數足够規則。但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生(比如为了讨论数学分析的极限过程中導致的函數,或者出于概率论的需求),很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。 在实分析和在其它许多数学领域中勒貝格積分拥有一席重要的地位。 勒貝格積分是以昂利·勒貝格命名的,他于1904年引入了这个积分定义。 今天勒贝格积分有狭义和广义两种意义。广义地说是对于一个在一般測度空間(的子集合)上的函数积分,在這情況下其測度不必然是勒貝格測度。狭义则是指对于勒贝格测度在實數線或者更高维数的歐幾里得空間的一个子集合上函数的积分。.

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頻域

在電子學、控制系統及統計學中,頻域(frequency domain)是指在對函數或信號進行分析時,分析其和頻率有關部份,而不是和時間有關的部份,和時域一詞相對。 函數或信號可以透過一對數學的運算子在時域及頻域之間轉換。例如傅里葉變換可以將一個時域信號轉換成在不同頻率下對應的振幅及相位,其頻譜就是時域信號在頻域下的表現,而反傅里葉變換可以將頻譜再轉換回時域的信號。.

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Mellin 变换

#重定向 梅林变换.

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Z轉換

在數學和信号处理中,Z轉換(Z-transform)把一連串離散的實數或複數訊號,從時域轉為复頻域表示。 可以把它认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。在时标微积分中会探索它们的相似性.

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概率论

概率论(Probability theory)是集中研究概率及随机现象的数学分支,是研究隨機性或不確定性等現象的數學。概率论主要研究对象为随机事件、随机变量以及随机过程。对于随机事件是不可能准确预测其结果的,然而对于一系列的独立随机事件——例如掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及輪盤等,会呈现出一定的、可以被用于研究及预测的规律,两个用来描述这些规律的最具代表性的数学结论分别是大数定律和中心极限定理。 作为统计学的数学基础,概率论对诸多涉及大量数据定量分析的人类活动极为重要,概率论的方法同样适用于其他方面,例如是对只知道系统部分状态的复杂系统的描述——统计力学,而二十世纪物理学的重大发现是以量子力学所描述的原子尺度上物理现象的概率本质。 數學家和精算師認為概率是在0至1閉區間内的數字,指定給一發生與失敗是隨機的「事件」。概率P(A)根據概率公理來指定給事件A。 一事件A在一事件B確定發生後會發生的概率稱為B給之A的條件概率;其數值為。若B給之A的條件概率和A的概率相同時,則稱A和B為獨立事件。且A和B的此一關係為對稱的,這可以由一同價敘述:「當A和B為獨立事件時,P(A \cap B).

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上面的列表回答下列问题

卷积和拉普拉斯变换之间的比较

卷积有44个关系,而拉普拉斯变换有74个。由于它们的共同之处12,杰卡德指数为10.17% = 12 / (44 + 74)。

参考

本文介绍卷积和拉普拉斯变换之间的关系。要访问该信息提取每篇文章,请访问:

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