二项式定理和帕斯卡法則

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二项式定理和帕斯卡法則之间的区别

二项式定理 vs. 帕斯卡法則

在初等代數中，二项式定理（Binomial theorem）描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理，可以将两个数之和的整数次幂诸如(x + y)n 展开为类似 axbyc 项之和的恒等式，其中b、c均为非负整数且。系数a是依赖于 n 和b的正整数。当某项的指数为0时，通常略去不写。例如： (x+y)^4 \;. 帕斯卡法則是組合數學上的一個關於二項式係數的恆等式。它說明對於正整數n,k（k \le n），.

二項式係數

二項式係數在數學上是二項式定理中的係數族。其必然為正整數，且能以兩個非負整數為參數確定，此兩參數通常以n和k代表，並將二項式係數寫作\tbinom nk ，亦即是二項式冪(1 + x) n的多項式展式中，x k項的係數。如將二項式係數的n值順序排列成行，每行為k值由0至n列出，則構成帕斯卡三角形。 此數族亦常見於其他代數學領域中，尤其是組合數學。任何有n個元素的集合，由其衍生出擁有k個元素的子集，即由其中任意k個元素的組合，共有\tbinom nk個。故此\tbinom nk亦常讀作「n選取k」。二項式係數的特性使表達式\tbinom nk的定義不再局限於n和k均為非負整數及，然此等表達式仍被稱為二項式係數。 雖然此數族早已被發現（見帕斯卡三角形），但表達式\tbinom nk則是由安德烈亚斯·冯·厄廷格豪森於1826年始用。最早探討二項式係數的論述是十世紀的Halayudha寫的印度教典籍《Pingala的計量聖典》（chandaḥśāstra），及至約1150年，印度數學家Bhaskaracharya於其著作《Lilavati》Lilavati 第6節，第4章（見）。 中給出一個簡單的描述。 二項式係數亦有不同的符號表達方式，包括：C(n, k)、nCk、nCk、C^_，其中的C代表組合（combinations）或選擇（choices）。.

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杨辉三角形

杨辉三角形，又称賈憲三角形、帕斯卡三角形、海亚姆三角形、巴斯卡三角形，是二项式係數在的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《详解九章算术》得名，书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算术》，故又名贾宪三角形。前 9 行写出来如下： 　　　　　　　　１ 　　　　　　　１　１ 　　　　　　１　２　１ 　　　　　１　３　３　１ 　　　　１　４　６　４　１ 　　　１　５　10　10　５　１ 　　１　６　15　20　15　６　１ 　１　７　21　35　35　21　７　１ １　８　28　56　70　56　28　８　１ 杨辉三角形第 n 层（顶层称第 0 层，第 1 行，第 n 层即第 n+1 行，此处 n 为包含 0 在内的自然数）正好对应于二项式 \left(a+b\right)^ 展开的系数。例如第二层 1 2 1 是幂指数为 2 的二项式 \left(a+b\right)^ 展开形式 a^+2ab+b^ 的系数。.

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