32 关系: 基 (線性代數),偏序关系,向量空间,吉洪诺夫定理,子集,上界和下界,下标,并,序列,序数,哈恩-巴拿赫定理,函数,全序关系,理想,理想 (环论),积空间,策梅洛-弗兰克尔集合论,紧空间,马克斯·奥古斯特·佐恩,超限归纳法,链,自然数,良序定理,良序关系,集合,集合论,选择公理,抽象代数,极大元,泛函分析,指标集,拓扑学。
基 (線性代數)
在线性代数中,基(basis)(也称为基底)是描述、刻画向量空间的基本工具。向量空间的基是它的一个特殊的子集,基的元素称为基向量。向量空间中任意一个元素,都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限,就称向量空间为有限维向量空间,将元素的个数称作向量空间的维数。 使用基底可以便利地描述向量空间。比如说,考察从一个向量空间\mathrm射出的线性变换f,可以查看这个变换作用在向量空间的一组基\mathfrak上的效果。掌握了f(\mathfrak),就等于掌握了f对\mathrm中任意元素的效果。 不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。如果承认选择公理,那么可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组,但同一个空间的两组不同的基,它们的元素个数或势(当元素个数是无限的时候)是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的;反之,如果向量空间拥有一组基,那么在向量空间中取一组线性无关的向量,一定能将它扩充为一组基。在内积向量空间中,可以定义正交的概念。通过特别的方法,可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。.
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偏序关系
偏序集合(Partially ordered set,简写poset)是数学中,特别是序理论中,指配备了部分排序关系的集合。 这个理論將排序、顺序或排列这个集合的元素的直觉概念抽象化。这种排序不必然需要是全部的,就是说不必要保证此集合内的所有对象的相互可比较性。部分排序集合定义了部分排拓扑。.
向量空间
向量空間是现代数学中的一个基本概念。是線性代數研究的基本对象。 向量空间的一个直观模型是向量几何,幾何上的向量及相关的運算即向量加法,標量乘法,以及对運算的一些限制如封闭性,结合律,已大致地描述了“向量空間”这个數學概念的直观形象。 在现代数学中,“向量”的概念不仅限于此,满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如,實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。.
吉洪诺夫定理
在数学上,吉洪诺夫(Тихонов)定理断言,任意个紧致空间的乘积空间对于乘积拓扑是紧致的,这个定理1930年由吉洪诺夫 (数学家)(Andrey Nikolayevich Tychonoff,Андрей Николаевич Тихонов)发表。这个定理在微分拓扑、代数拓扑和泛函分析等领域中有诸多运用。 对有限个空间来说,这个定理没有特别之处;对无限个,无论是可数无穷还是不可数无穷,这个结论仍然成立,它依赖于乘积拓扑的定义,与选择公理(它又等价于佐恩引理)是等价的。 J J J.
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子集
子集,為某個集合中一部分的集合,故亦稱部分集合。 若A和B为集合,且A的所有元素都是B的元素,则有:.
上界和下界
設(A,\leq)為一個偏序集,若存在y\in A,能滿足\forall x\in B\subseteq A都有x\leq y,則y稱作集合B的上界,若存在z\in A,能滿足\forall x\in B\subseteq A都有x\geq z,則z稱作B的下界。 例如在實變數中,若存在一個實數b,能滿足\forall x\in S\subseteq R都有 x\leq b,則b即為集合S的上界,若存在一個實數c,能滿足\forall x\in S\subseteq R都有 x\geq c,則c即為集合S的下界。.
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下标
下标,也叫下角标、脚标,是出现在一列正常字体下边的数字、字母或其他標誌,特别是用于公式、数学表达式或化学复合物的描述,例如水的分子式“H2O”中的数字“2”。 在印刷上,下标设置成低于基线,字型小于其他文字。比如,要正确的排出“H2O”,“2”必须设成“H”和“O”大小的 2/3 左右。这在许多文字编辑和文字处理软件中可自动完成(例如Microsoft Word)。.
并
--」是「--」与「--」的簡化字。古時地名一般衹用「--」。.
序列
数学上,序列是被排成一列的对象(或事件);这样,每个元素不是在其他元素之前,就是在其他元素之后。这里,元素之间的顺序非常重要。.
序数
數學上,序數是自然數的一種擴展,與基數相對,著重於次序的性質。大於有限數的序數也稱作超限序數。 超限序数是由數學家格奥尔格·康托尔于1897年引入,用來考慮無窮序列,並用來對具有序结构的無窮集進行分類。.
哈恩-巴拿赫定理
在泛函分析中,哈恩-巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间,并说明了存在“足够”的连续线性泛函,定义在每一个賦範向量空間,使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名,他们在1920年独立证明了这个定理。.
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函数
函數在數學中為兩集合間的一種對應關係:輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x2的關係就是一個函數,若以3作為此函數的輸入值,所得的輸出值便是9。 為方便起見,一般做法是以符號f,g,h等等來指代一個函數。若函數f以x作為輸入值,則其輸出值一般寫作f(x),讀作f of x。上述的平方函數關係寫成數學式記為f(x).
全序关系
全序关系即集合X上的反对称的、传递的和完全的二元关系(一般称其为\leq)。 若X满足全序关系,则下列陈述对于X中的所有a,b和c成立:.
理想
想可以指:.
理想 (环论)
想(Ideal)是一个抽象代数中的概念。.
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积空间
拓扑学和数学的相关领域中,积空间是指一族拓扑空间的笛卡儿积,并配备了一个称为积拓扑的自然的拓扑结构。.
策梅洛-弗兰克尔集合论
梅洛-弗兰克尔集合论(Zermelo-Fraenkel Set Theory),含选择公理時常简写为ZFC,是在数学基础中最常用形式的公理化集合论,不含選擇公理的則簡寫為ZF。.
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紧空间
在数学中,如果欧几里得空间Rn的子集是闭合的并且是有界的,那么称它是--的。例如,在R中,闭合单位区间是紧致的,但整数集合Z不是(它不是有界的),半开区间.
马克斯·奥古斯特·佐恩
马克斯·奥古斯特·佐恩(Max August Zorn,1906年6月6日於德国克雷费尔德——1993年3月9日於美国印第安纳州布卢明顿(Bloomington))是德国裔美国数学家。 佐恩是代数学家,群论学家,和数值分析学家。 他最著名的是佐恩引理。这是集合论一个很强的工具,应用范围广泛,可用於很多数学构造,例如向量空间、偏序集等。 他从1946年起任印第安纳州大学教授直到逝世。 按印第安纳州大学数学教授肯特·奥尔(Kent Orr)所言,有次年老的荣誉教授佐恩差点被汽车撞毙,数学大楼附近便竖立了一支交通灯。 佐恩也很热衷於弹吉他。在布卢明顿分校的数学学院所处的罗尔斯堂(Rawles Hall),挂了一幅他弹吉他的图画。 Z Z Z Z Z.
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超限归纳法
超限归纳法(transfinite induction)是数学归纳法向(大)良序集合比如基数或序数的集合的扩展。.
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链
鏈可能有以下含義.
自然数
数学中,自然数指用于计数(如「桌子上有三个苹果」)和定序(如「国内第三大城市」)的数字。用于计数时称之为基数,用于定序时称之为序数。 自然数的定义不一,可以指正整数 (1, 2, 3, 4, \ldots),亦可以指非负整数 (0, 1, 2, 3, 4, \ldots)。前者多在数论中使用,后者多在集合论和计算机科学中使用,也是 标准中所采用的定义。 数学家一般以\mathbb代表以自然数组成的集合。自然数集是一個可數的,無上界的無窮集合。.
良序定理
在數學中,良序定理(Well-ordering theorem)表示「所有集合都可以被良序排序」。这是非常重要的,因为它使所有集合均适用於超限归纳法。.
良序关系
在数学中,集合S上的良序关系(或良序)需要满足:1.是在S上的全序关系2.
集合
集合可以指:.
集合论
集合論(Set theory)或稱集論,是研究集合(由一堆構成的整體)的數學理論,包含集合和元素(或稱為成員)、關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中,都是在集合論的語言下談論各種。集合論、命題邏輯與謂詞邏輯共同構成了數學的公理化基礎,以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 現代集合論的研究是在1870年代由俄国数学家康托爾及德國数学家理察·戴德金的樸素集合論開始。在樸素集合論中,集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念,沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生一些後,二十世紀初期提出了許多公理化集合論,其中最著名的是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論,簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員,而是先規範可以描述其性質的一些公理。 集合論常被視為數學基礎之一,特別是 ZFC 集合論。除了其基礎的作用外,集合論也是數學理論中的一部份,當代的集合論研究有許多離散的主題,從實數線的結構到大基数的一致性等。.
选择公理
选择公理(Axiom of Choice,縮寫AC)是数学中的一条集合论公理。这条公理声明,对所有非空指标集族 (S_i)_,总存在一个索引族 (x_i)_,对每一个 i \in I,均有 x_i \in S_i。选择公理最早于1904年,由恩斯特·策梅洛为证明良序定理而公式化完成。 非正式地說,选择公理声明:給定一些盒子(可以是無限個),每个盒子中都含有至少一个小球,那么可以作出这样一种选择,使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。在很多情况下这样的选择可不借助选择公理;尤其是在“盒子个数有限”和“存在具體的選擇規則”(當每個盒子都恰好只有一个小球具有某項特征)这两种情况下。再举一个例子,假设有许多(甚至是无限)双鞋子,则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择。然而,假设有无限双袜子(假设每双袜子都没有可区分的特征),在这种情况下,有效的选择只能通过选择公理得到。 尽管曾具有争议性,选择公理現在已被大多数数学家毫无保留地使用着,例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论(ZFC)。数学家们使用选择公理的原因是,有许多被普遍接受的数学定理,比如是吉洪诺夫定理,都需要选择公理来证明。現代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理,例如。 在一些構造性數學的理論中會避免选择公理的使用,不過也有的將选择公理包括在內。.
抽象代数
抽象代数作为数学的一门学科,主要研究对象是代数结构,比如群、环、-zh-hans:域;zh-hant:體-、模、向量空间、格與域代数。「抽象代數」一詞出現於20世紀初,作為與其他代數領域相區別之學科。 代數結構與其相關之同態,構成數學範疇。範疇論是用來分析與比較不同代數結構的強大形式工具。 泛代數是一門與抽象代數有關之學科,研究將各類代數視為整體所會有的性質與理論。例如,泛代數研究群的整體理論,而不會研究特定的群。.
极大元
设(A, \leq)是偏序集,B \subseteq A,y \in B,若对于所有的x \in B,y \leq x ~\implies~x.
泛函分析
泛函分析(Functional Analysis)是现代数学分析的一个分支,隶属于分析学,其研究的主要对象是函数构成的函数空间。泛函分析历史根源是由对函数空间的研究和对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究。这种观点被证明是对微分方程和积分方程的研究中特别有用。 使用泛函这个词作为表述源自变分法,代表作用于函数的函数,这意味着,一个函数的参数是函数。这个名词首次被雅克·阿达马在1910年使用于这个课题的书中。是泛函分析理论的主要奠基人之一。然而,泛函的一般概念以前曾在1887年是由意大利数学家和物理学家維多·沃爾泰拉(Vito Volterra)介绍。非线性泛函理论是由雅克·阿达马的学生继续研究,特别是莫里斯·弗雷歇(Maurice Fréchet)可和列维(Levy)。雅克·阿达马还创立线性泛函分析的现代流派,并由弗里杰什·里斯和一批围绕着斯特凡·巴拿赫(Stefan Banach)的波兰数学家进一步发展。.
指标集
在数学中,集合 A 的元素有時可以凭借某個集合 J 来索引(index)或标定(label),這時便稱集合 J 為索引集。索引由从 J 到 A 的一个满射函数构成,而被索引的搜集稱為索引族、標記族或加標族,通常写为(Aj)j∈J。.
拓扑学
在數學裡,拓撲學(topology),或意譯為位相幾何學,是一門研究拓撲空間的學科,主要研究空間內,在連續變化(如拉伸或彎曲,但不包括撕開或黏合)下維持不變的性質。在拓撲學裡,重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。 拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科,研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茲,他在17世紀提出「位置的幾何學」(geometria situs)和「位相分析」(analysis situs)的說法。莱昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。「拓撲學」一詞由利斯廷於19世紀提出,雖然直到20世紀初,拓撲空間的概念才開始發展起來。到了20世紀中葉,拓撲學已成為數學的一大分支。 拓撲學有許多子領域:.