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20 关系: 可數集，双射，子结构，实数，巴拿赫-塔斯基悖论，不可數集，希拉里·怀特哈尔·普特南，初等等价，公理，矛盾，策梅洛-弗兰克尔集合论，约翰·冯·诺伊曼，罗素悖论，自然数，集合论，Löwenheim-Skolem定理，格奥尔格·康托尔，模型论，悖论，数理逻辑。
可數集
在数学上，可数集，或称可列集、可数无穷集合，是与自然数集的某个子集具有相同基數（等势）的集合。在这个意义下不是可数集的集合称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。 “可数集”这个术语也可以代表能和自然数集本身一一对应的集合。例子参见两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集，而在后者中不算作可数集。 为了避免歧义，前一种意义上的可数有时称为至多可数，参见.
双射
數學中，一個由集合X映射至集合Y的函數，若對每一在Y內的y，存在唯一一個在X內的x与其对应，則此函數為對射函數。 換句話說，f為雙射的若其為兩集合間的一一對應，亦即同時為單射和滿射。 例如，由整數集合\Z至\Z的函數\operatorname，其將每一個整數x連結至整數\operatorname(x).
子结构
在数学学科模型论中，某个其他模型的子模型或子结构是满足与最初模型同样关系的更小的模型。 形式定义如下。设 M 和 N 是同一个语言 L 的两个模型。我们称 M 是 N 的子模型(通常表示为 M ⊂ N) (等价的说，N 是 M的扩展)当且仅当.
实数
实数，是有理數和無理數的总称，前者如0、-4、81/7；后者如\sqrt、\pi等。实数可以直观地看作小數（有限或無限的），它們能把数轴「填滿」。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。实数和虚数共同构成复数。 根据日常经验，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1公分的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001公分），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414公分）。但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為：.
巴拿赫-塔斯基悖论
#重定向 巴拿赫-塔斯基定理.
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不可數集
不可數集是無窮集合中的一種。一個無窮集合和自然数之間要是不存在一個双射，那麼它就是一個不可數集。集合的不可数性与它的基数密切相关：如果一个集合的基数大于自然数的基数，那么它就是不可数的。.
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希拉里·怀特哈尔·普特南
希拉里·怀特哈尔·普特南（Hilary Whitehall Putnam，），美国哲学家、數學家與計算機科學家，20世纪60年代分析哲学的重要人物，特别在心灵哲学、语言哲学、数学哲学和科学哲学等领域。.
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初等等价
在数学中，特别是模型论中，给定语言的两个结构被称为初等等价的，如果它们的理论相同，就是说任何被一个模型满足的句子也被另一个模型满足。.
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公理
在傳統邏輯中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關係毕竟不能無限地追溯，而需停止於無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如「a+b.
矛盾
粗略的说，矛盾（Contradiction）是在两个或更多陈述、想法或行动之间的不一致，存在差别。 汉语辞源出自《韩非子》中《难一》所述故事： 白話文大意為：有一位賣盾牌和賣矛的楚國人，他誇讚自己賣的盾牌說：“我的盾牌堅固無比，什麼東西都無法刺穿它。”又誇讚自己賣的矛說：“我的矛鋒利無比，什麼東西都可以刺穿。”有人問他說：“用你的矛来試著刺你的盾，將會如何？”那人一句話都無法回答。不能被刺穿的盾牌和能刺穿一切的矛，是不可以同时存在的。 注意在口语和辩证法中，矛盾有着同形式逻辑中完全不同的意义，口语中的矛盾强调矛盾双方的斗争性。.
策梅洛-弗兰克尔集合论
梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory），含选择公理時常简写为ZFC，是在数学基础中最常用形式的公理化集合论，不含選擇公理的則簡寫為ZF。.
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约翰·冯·诺伊曼
约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann，，，），原名诺依曼·雅诺士·拉约士（Neumann János Lajos，），出生於匈牙利的美國籍猶太人数学家，现代電子計算機与博弈论的重要创始人，在泛函分析、遍历理论、几何学、拓扑学和数值分析等众多数学领域及計算機學、量子力學和经济学中都有重大貢獻。 冯·诺伊曼从小就以过人的智力与记忆力而闻名。冯·诺伊曼一生中发表了大约150篇论文，其中有60篇纯数学论文，20篇物理学以及60篇应用数学论文。他最后的作品是一个在医院未完成的手稿，后来以书名《》发布，表现了他生命最后时光的兴趣方向。 “诺依曼”和“诺伊曼”2种同音不同字的德音汉语译名写法都比较常见。另外也有资料采用其英音汉语译名“冯纽曼”。.
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罗素悖论
罗素悖论（Russell's paradox），也称为理发师悖论，是英國哲學家罗素於1901年提出的悖论，一个关于类的内涵问题。罗素悖论当时的提出，造成了第三次数学危机。.
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自然数
数学中，自然数指用于计数（如「桌子上有三个苹果」）和定序（如「国内第三大城市」）的数字。用于计数时称之为基数，用于定序时称之为序数。 自然数的定义不一，可以指正整数 (1, 2, 3, 4, \ldots)，亦可以指非负整数 (0, 1, 2, 3, 4, \ldots)。前者多在数论中使用，后者多在集合论和计算机科学中使用，也是 标准中所采用的定义。 数学家一般以\mathbb代表以自然数组成的集合。自然数集是一個可數的，無上界的無窮集合。.
集合论
集合論（Set theory）或稱集論，是研究集合（由一堆構成的整體）的數學理論，包含集合和元素（或稱為成員）、關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中，都是在集合論的語言下談論各種。集合論、命題邏輯與謂詞邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 現代集合論的研究是在1870年代由俄国数学家康托爾及德國数学家理察·戴德金的樸素集合論開始。在樸素集合論中，集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念，沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生一些後，二十世紀初期提出了許多公理化集合論，其中最著名的是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論，簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員，而是先規範可以描述其性質的一些公理。 集合論常被視為數學基礎之一，特別是 ZFC 集合論。除了其基礎的作用外，集合論也是數學理論中的一部份，當代的集合論研究有許多離散的主題，從實數線的結構到大基数的一致性等。.
Löwenheim-Skolem定理
#重定向 勒文海姆–斯科伦定理.
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格奥尔格·康托尔
格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，），出生于俄国的德国数学家（波羅的海德國人）。他创立了现代集合论，是實數系以至整个微积分理论体系的基础，還提出了势和良序概念的定義；康托爾確定了在兩個集合中的成員，其間一對一關係的重要性，定義了無限且有序的集合，並證明了實數比自然數更多。康托爾對這個定理所使用的證明方法，事實上暗示了“無限的無窮” 的存在。他定義了基數和序數及其算術。康托爾很清楚地自知自覺他的成果，富有極濃厚的哲學興趣。康托爾提出的超越數，最初被當時數學界同儕認為如此反直覺-甚至令人震驚-因而拒絕接受他的理論，且以利奥波德·克罗内克为首的众多数学家长期攻击。克羅內克反對代數數為可數的，而超越數為不可數的證明。 康托爾本身是一位虔誠的路德派，相信這個理論是經由上帝傳達給他；但一些基督教神學家認為康托爾的理論，是在挑戰神學中只有上帝才具有絕對而唯一的無限性質。康托爾自 1869年任職於德國哈勒大學直到 1918年在哈勒大學附屬精神病院逝世；他的抑鬱症一直再發的病因，被歸咎於當代學界的敵對態度，儘管有人將這些事件解釋為，是他本人所患有的情感雙極障礙的病徵。他所受到的嚴厲攻擊，與後來的讚譽相匹配：在 1904年倫敦皇家學會授予他西爾維斯特獎章，這是皇家學會可授予數學研究者的最高榮譽。 在康托死後數十年，維特根斯坦撰文哀悼昔時學術界指責「集合論是假借通過數學而有害處的方言」的氛圍，他認為那是「可笑」和「錯誤」的「完全無稽之談」。当代数学家绝大多数接受康托尔的理论，并认为这是数学史上一次重要的变革。大卫·希尔伯特說：「沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去。」（原文另譯：我們屏息敬畏地自知在康托所鋪展的天堂裡，不會遭逢被驅逐出境的。）.
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模型论
数学上，模型论(Model theory)是从集合论的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者说是对于作为数学系统基础的“模型”的研究。粗略地说，该学科假定有一些既存的数学“对象”，然后研究：当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。 比如实数理论中一个模型论概念的例子是：我们从一个任意集合开始，作为集合元素的每个个体都是一个实数，其间有一些关系和（或）函数，例如。若我们在该语言中问"∃ y (y × y.
悖论
悖論，亦稱為弔詭或詭局，是指一种导致矛盾的命题。通常从逻辑上无法判断正确或错误称为悖论，似非而是称为佯谬；有时候违背直觉的正确论断也称为悖论。悖论的英文paradox一詞，来自希腊语παράδοξος ，paradoxos，意思是“未预料到的”，“奇怪的”。 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 paradox其實亦有“似非而是”的解釋。即是用普通常識看上去不正確，但其實是正確或是有可能的。例如“站著比走路更累”。一般常識是走路比站著累，但要一個人例如在公園裡站一個小時，他可能寧願走動一個小時。因為“站著比走路更累”。也例如狹義相對論裡面的雙生子佯謬亦是另外一個例子。 佛法中也有釋迦牟尼佛破外道悖論的例子：如《大智度論》卷一中舉出長爪梵志的例子：長爪梵志提倡一種“一切法不受”的主張，其意思是說他不接受世間一切理論。釋迦牟尼佛就問他：「你接不接受你自己所建立的這個“一切法不受”的理論？」長爪梵志像一匹千里馬一樣有智慧，不必等到鞭子打到身上才起跑，只看到鞭影覺悟了。換句話說，當釋迦牟尼佛提出這個問題的時候，長爪梵志就知道自己的理論是有問題的──如果接受，那就是“接受一種理論”這與他自己建立的“一切法不受”的主張違背；如果不接受，那他的主張就不存在。就這樣，一方面顯示長爪梵志的理論是一種悖論，另一方面也突顯釋迦牟尼佛以非常簡短的開示就把長爪梵志折服了。.
数理逻辑
数理逻辑是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。 数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。.
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